Percubaan Matematik Tambahan SPM 2021 (Selangor), Kertas 1 (Soalan 8)

Soalan 8:

\begin{array}{l} Rajah 3 menunjukkan sebuah segi empat selari O A B C . Titik P ialah titik tengah A B dan \\ nisbah \vec{Q P} : \vec{O P} = 2 : 5. \\ Diberi bahawa \vec{O A} = 3 \underset{˜}{i} + 4 \underset{˜}{j} dan \vec{O C} = 6 \underset{˜}{i} + \underset{˜}{j} \end{array}

Rajah 3

\begin{array}{l} Ungkapkan dalam sebutan \underset{˜}{i} dan \underset{˜}{j}, \\ (a) \vec{O P} (1 markah) \\ (b) \vec{A Q} (3 markah) \end{array}

Penyelesaian:
(a)

\begin{array}{l} \vec{O P} = \vec{O A} + \vec{A P} \\ = 3 \underset{˜}{i} + 4 \underset{˜}{j} + \frac{1}{2} (\vec{A B}) \\ = 3 \underset{˜}{i} + 4 \underset{˜}{j} + \frac{1}{2} (\vec{O C}) \\ = 3 \underset{˜}{i} + 4 \underset{˜}{j} + \frac{1}{2} (6 \underset{˜}{i} + \underset{˜}{j}) \\ = 3 \underset{˜}{i} + 4 \underset{˜}{j} + 3 \underset{˜}{i} + \frac{1}{2} \underset{˜}{j} \\ = 6 \underset{˜}{i} + \frac{9}{2} \underset{˜}{j} \end{array}

(b)

\begin{array}{l} \vec{Q P} : \vec{O P} = 2 : 5 \\ \frac{\vec{Q P}}{\vec{O P}} = \frac{2}{5} \\ \vec{Q P} = \frac{2}{5} \times \vec{O P} \\ \vec{A Q} = \vec{A O} + \vec{O Q} \\ = - \vec{O A} + (\frac{3}{5} \times \vec{O P}) \\ = - (3 \underset{˜}{i} + 4 \underset{˜}{j}) + \frac{3}{5} (6 \underset{˜}{i} + \frac{9}{2} \underset{˜}{j}) \\ = - 3 \underset{˜}{i} - 4 \underset{˜}{j} + \frac{18}{5} \underset{˜}{i} + \frac{27}{10} \underset{˜}{j} \\ = \frac{3}{5} \underset{˜}{i} - \frac{13}{10} \underset{˜}{j} \end{array}