1.5.2 Sukatan Membulat, SPM Praktis (Kertas 2 Soalan 6 – 10)

Soalan 6:
Rajah di bawah menunjukkan semi bulatan PTQ, dengan pusat O dan sukuan RST, dengan pusat R.

Hitung
(a) nilai θ, dalam radian,
(b) perimeter, dalam cm, seluruh rajah itu,
(c) luas, dalam cm², kawasan berlorek itu.

Penyelesaian:
$\begin{array}{l}\left(a\right)\\ \sin \angle ROT=\frac{2.5}{5}\\ \angle ROT={30}^o\\ \theta ={180}^o-{30}^o={150}^o\\ =150\times \frac{\pi }{180}\\ =2.618\text{ rad}\end{array}$


$\begin{array}{l}\left(b\right)\\ \text{Panjang lengkok }PT=j\theta \\ =5\times 2.618\\ =13.09\text{ cm}\\ \text{Panjang lengkok }ST=\frac{\pi }{2}\times 2.5\\ =3.9275\text{ cm}\\ \\ O{R}^2+{2.5}^2=5^2\\ O{R}^2=5^2-{2.5}^2\\ OR=4.330\\ \\ \text{Perimeter}=13.09+3.9275+2.5+4.330+5\\ =28.8475\text{ cm}\end{array}$


$\begin{array}{l}\left(c\right)\\ \text{Luas kawasan berlorek}\\ =\text{Luas sukuan }RST-\text{Luas sukuan }RQT\\ \\ \text{Luas sukuan }RQT\\ =\text{Luas }OQT-\text{Luas }OTR\\ =\frac{1}{2}{\left(5\right)}^2\times \left(30\times \frac{\pi }{180}\right)-\frac{1}{2}\left(4.33\right)\left(2.5\right)\\ =1.1333{\text{ cm}}^2\\ \\ \text{Luas kawasan berlorek}\\ =\text{Luas sukuan }RST-\text{Luas sukuan }RQT\\ =\frac{1}{2}{\left(2.5\right)}^2\times \left(90\times \frac{\pi }{180}\right)-1.1333\\ =3.7661{\text{ cm}}^2\end{array}$

Soalan 8:
Rajah di bawah menunjukkan bulatan PQT yang berpusat O dan berjejari 7 cm.

QS ialah garis tangen kepada bulatan pada titik Q dan QSR adalah sukuan bagi bulatan berpusat Q. Q ialah titik tengah bagi OR dan QP adalah garis perentas. OQR dan SOP adalah garis lurus.
[Guna π = 3.142]
Hitung
(a) sudut θ, dalam radian,
(b) perimeter, dalam cm, bagi kawasan berlorek,
(c) luas, dalam cm², bagi kawasan berlorek.


Penyelesaian:
(a)
$\begin{array}{l}OQ=QR=QS=7\text{ cm}\\ \tan \theta =1\\ \theta ={45}^o\\ ={45}^o\times \frac{\pi }{{180}^o}\\ =0.7855\text{ rad}\end{array}$

(b)
$\begin{array}{l}\text{Panjang lengkok }RS\\ =7\times \left(0.7855\times 2\right)\to \boxed{\begin{array}{l}\pi \text{ rad}={180}^o\\ {45}^o=0.7855\text{ rad}\\ {90}^o=0.7855\times \text{2 rad}\end{array}}\\ =7\times 1.571\\ =10.997\text{ cm}\\ \\ \text{Panjang lengkok }QP\\ =7\times \left(0.7855\times 3\right)\\ =7\times 2.3565\\ =16.496\text{ cm}\\ \\ \text{Panjang perentas }QP\\ =\sqrt{7^2+7^2-2\left(7\right)\left(7\right)kos{135}^o}\leftarrow \boxed{\begin{array}{l}\text{rujuk bab 10 tingkatan 4 (penyelesaian}\\ \text{segi tiga) bagi rumus kosine}\end{array}}\\ =\sqrt{167.30}\\ =12.934\text{ cm}\\ \\ \text{Perimeter bagi kawasan berlorek}\\ =7+7+10.997+16.496+12.934\\ =54.427\text{ cm}\end{array}$

(c)
$\begin{array}{l}\text{Luas kawasan berlorek}\\ =\left(\frac{1}{2}\times 7^2\times 1.571\right)+\left(\frac{1}{2}\times 7^2\times 2.3565\right)\\ -\left(\frac{1}{2}\times 7\times 7\times \text{sin}{135}^o\right)\leftarrow \boxed{\begin{array}{l}\text{rujuk bab 10 tingkatan 4 }\left(\text{penyelesaian segi tiga}\right)\\ \text{bagi rumus luas segi tiga}\end{array}}\\ =38.4895+57.7343-17.3241\\ =78.8997{\text{ cm}}^2\end{array}$

Soalan 9 (SPM 2017 – 8 markah):
Rajah 1 menunjukkan bulatan dan sektor sebuah bulatan dengan pusat sepunya O. Jejari bulatan ialah r cm.


Diberi bahawa panjang lengkok PQ dan lengkok RS masing-masing ialah 2 cm dan 7 cm. QR = 10 cm.
[Guna θ = 3.142]
Cari
(a) nilai r dan nilai θ,
(b) luas, dalam cm², kawasan yang berlorek.

 

Penyelesaian:
(a)

$\begin{array}{l}\text{Panjang lengkok }PQ=2\text{ cm}\\ r\theta =2\mathrm{\dots \dots \dots \dots \dots ..}\left(1\right)\\ \\ \text{Panjang lengkok }RS=7\text{ cm}\\ \left(r+10\right)\theta =7\\ r\theta +10\theta =7\mathrm{\dots \dots \dots \dots \dots ..}\left(2\right)\\ \text{Gantikan }\left(1\right)\text{ ke dalam }\left(2\right):\\ 2+10\theta =7\\ 10\theta =5\\ \theta =\frac{5}{10}\\ \theta =0.5\text{ rad}\\ \\ \text{Daripada}\left(1\right):\\ \text{Apabila }\theta =0.5\text{ rad,}\\ r\times 0.5=2\\ r=4\end{array}$

(b)

$\begin{array}{l}OS=OR=4+10=14\text{ cm}\\ \text{Luas kawasan yang berlorek}\\ =\text{luas }\Delta ORS-\text{ luas }OPQ\\ =\left(\frac{1}{2}\times {14}^2\times \sin 0.5\text{ rad}\right)-\left(\frac{1}{2}\times 4^2\times 0.5\right)\\ =42.981{\text{ cm}}^2\end{array}$

Soalan 10 (SPM 2018 – 7 markah):
Persatuan matematik SMK Mulia menganjurkan satu pertandingan mencipta logo untuk persatuan itu.

 

Rajah 3 menunjukkan logo berbentuk bulatan yang dicipta oleh Adrian. Ketiga-tiga kawasan berwarna biru adalah kongruen. Diberi bahawa perimeter bagi kawasan berwarna biru ialah 20π cm.
[Guna π = 3.142]
Cari
(a) jejari, dalam cm, bagi logo itu kepada integer terhampir,
(b) luas, dalam cm², bagi kawasan yang berwarna kuning.

Penyelesaian:
(a)
$\begin{array}{l}6\text{ lengkok }=20\pi \\ 6j\theta =20\pi \\ 6j\left[\cancel{{60}^o}\times \frac{\pi }{{\cancel{{180}^o}}^3}\right]=20\pi \\ 2\pi j=20\pi \\ j=10\text{ cm}\end{array}$

 

(b)

$\begin{array}{l}\text{Luas kawasan berwarna kuning}\\ =3\left[\text{luas segi tiga }OAB\right]-6\left[\text{luas tembereng}\right]\\ =3\left[\frac{1}{2}ab\sin C\right]-6\left[\frac{1}{2}{j}^2\left(\theta -\sin \theta \right)\right]\\ =3\left[\frac{1}{2}\left(10\right)\left(10\right)\sin {120}^o\right]-6\left[\frac{1}{2}{\left(10\right)}^2\left(\theta -\sin \theta \right)\right]\\ =3\left(43.3013\right)-6\left[50\left(1.0473-\sin 1.0473\right)\right]\\ \boxed{\begin{array}{l}\text{tukar kepada mod rad}\\ \theta ={60}^o\times \frac{3.142}{{180}^o}=1.0473\text{ rad}\end{array}}\\ =129.9039-6\left(9.0612\right)\\ =129.9039-54.3672\\ =75.54{\text{ cm}}^2\end{array}$