1.5.1 Sukatan Membulat, SPM Praktis (Kertas 2 Soalan 1 - 5)

Soalan 1:

Rajah menunjukkan sebuah bulatan berpusat O dan berjejari 8 cm terterap dalam sektor SPT bagi sebuah bulatan berpusat P. Garis lurus SP dan garis lurus TP adalah tangen kepada bulatan masing-masing di titik Q dan titik R.

[Guna π = 3.142]

Hitung

(a) panjang, dalam cm, lengkok ST,

(b) luas, dalam cm², kawasan berlorek.

Penyelesaian:

(a)

Bagi segitiga OPQ,

\begin{array}{l} \sin 30^{\circ} = \frac{8}{O P} \\ O P = \frac{8}{\sin 30^{\circ}} = 16 cm \end{array}

Jejari bagi sektor SPT = 16 + 8 = 24 cm

∠ S P T = 60 \times \frac{3.142}{180} = 1.047 radian

Panjang lengkok ST = 24 × 1.047 = 25.14 cm

(b)

Bagi segitiga OPQ,

\begin{array}{l} \tan 30^{\circ} = \frac{8}{Q P} \\ P Q = \frac{8}{\tan 30^{\circ}} = 13.86 cm \end{array}

∠QOR = 2(60^o) = 120^o

Sudut refleks ∠QOR = 360^o – 120^o = 240^o

240^{\circ} = \frac{3.142}{180^{\circ}} \times 240^{\circ} = 4.189 radian

Luas kawasan berlorek

= (Luas sektor SPT) – (Luas sector major OQR) – (Luas ∆ OPQ dan ∆ OPR)

= ½ (24)² (1.047) – ½ (8)² (4.189) – 2 (½ × 8 × 13.86)

= 301.54 – 134.05 – 110.88

= 56.61 cm²

Soalan 2:

Rajah di bawah menunjukkan bulatan PQRT, berpusat Odan jejari 5 cm. AQB ialah tangen kepada bulatan itu di Q. Garis lurus, AO dan BO, bersilang dengan bulatan itu masing-masing di P dan R. OPQR ialah sebuah rombus. ACB ialah lengkok sebuah bulatan berpusat O.

Hitungkan

(a) sudut x , dalam sebutan π,

(b) panjang, dalam cm , lengkok ACB,

(c) luas, dalam cm², kawasan berlorek.

Penyelesaian:

(a)

Rombus ada 4 sisi sama, maka OP = PQ = QR = OR = 5 cm

OR ialah jejari kepada bulatan, maka OR = OQ = 5 cm

Segitiga OQR dan segitiga OPQ adalah segitiga sisi sama,

Maka, ∠ QOR = ∠QOP = 60^o

∠ POR = 120^o

\begin{array}{l} x = 120^{o} \times \frac{π}{180^{o}} \\ x = \frac{2 π}{3} r a d \end{array}

(b)

\begin{array}{l} k o s ∠ A O Q = \frac{O Q}{O A} \\ k o s 60^{o} = \frac{5}{O A} \\ O A = 10 cm \end{array}

Panjang lengkok, ACB,

s = jθ

Panjang ACB = (10) (2π / 3)

Panjang ACB = 20.94 cm

(c)

Luas kawasan berlorek

= ½ j² (θ – sinθ) (tukar mode kalkulator kepada Rad)

= \frac{1}{2} {(10)}^{2} (\frac{2 π}{3} - \sin \frac{2 π}{3})

= 50 (2.094 – 0.866)

= 61.40 cm²

Soalan 3:

Rajah di bawah menunjukkan dua bulatan. Bulatan yang lebih besar berpusat A dan berjejari 20 cm. Bulatan yang lebih kecil berpusat B dan berjejari 12 cm. Kedua-dua bulata bersentuh di titik R. Garis lurus PQ ialah tangen sepunya kepada kedua –dua bulatan itu di titik P dan titik Q.

[Guna π = 3.142]

Diberi bahawa ∠ PAR = θ radians,

(a) tunjukkan bahawa θ = 1.32 ( kepada dua tempat perpuluhan),

(b) hitung panjang, dalam cm, lengkok minor QR,

Penyelesaian:

(a)

\begin{array}{l} Dalam △ B S A \\ k o s θ = \frac{8}{32} = \frac{1}{4} \\ θ = 1.32 rad (2 t .p .) \end{array}

(b)

∠ QBR = 3.142 – 1.32 = 1.822 rad

Panjang lengkok minor QR

= 12 × 1.822

= 21.86 cm

(c)

P Q = \sqrt{32^{2} - 8^{2}} = 30.98 cm

Luas kawasan berlorek

= Luas trapezium PQBA – Luas sektor QBR – Luas sektor PAR

= (12 + 20) (30.98) – (12)² (1.822) – (20)²(1.32)

= 495.68 – 131.18 – 264

= 100.5 cm²

Soalan 4:
Rajah di bawah menunjukkan sektor QPR dengan pusat P dan sektor POQ, dengan pusat O.

Diberi bahawa OP = 17 cm dan PQ = 8.8 cm.
[Guna π = 3.142]
Hitung
(a) ∠OPQ, dalam radians,
(b) perimeter, dalam cm, sektor QPR,
(c) luas, dalam cm², rantau berlorek.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} (a) \\ ∠ O P Q = ∠ O Q P \\ x + x + 30 = 180 \\ 2 x = 150 \\ x = 75 \\ ∠ O P Q = \frac{75 \times 3.142}{180} \\ = 1.3092 radians \end{array}

\begin{array}{l} (b) \\ Panjang lengkok Q R = j θ \\ = 8.8 \times 1.3092 \\ = 11.52 cm \\ Perimeter sektor Q P R \\ = 11.52 + 8.8 + 8.8 \\ = 29.12 cm \end{array}

\begin{array}{l} (c) \\ 30^{o} = \frac{30 \times 3.142}{180} = 0.5237 rad \\ Luas tembereng P Q \\ = \frac{1}{2} j^{2} (θ - \sin θ) \\ = \frac{1}{2} \times 17^{2} \times (0.5237 - \sin 30) \\ = \frac{1}{2} \times 289 \times (0.5237 - 0.5) \\ = 3.4247 {cm}^{2} \\ Luas sektor Q P R \\ = \frac{1}{2} j^{2} θ \\ = \frac{1}{2} \times {8.8}^{2} \times 1.3092 \\ = 50.692 {cm}^{2} \\ Luas kawasan berlorek \\ = 3.4247 + 50.692 \\ = 54.1167 {cm}^{2} \end{array}

Soalan 5:
Rajah di bawah menunjukkan sebuah semi bulatan PTS, dengan pusat O dan jejari 8 cm. PTR ialah sector sebuah bulatan dengan pusat P dan Q ialah titik tengah OS.

[Guna π = 3.142]
Hitung
(a) ∠TOQ, dalam radians,
(b) panjang, dalam cm , lengkok TR,
(c) luas, dalam cm², kawasan berlorek.

Penyelesaian:
(a)

\begin{array}{l} k o s ∠ T O Q = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \\ ∠ T O Q = 60^{o} \\ = 60 \times \frac{π}{180} \\ = 1.047 radians \end{array}

(b)

\begin{array}{l} ∠ T P O = 30^{o} \\ = 30 \times \frac{π}{180} \\ = 0.5237 \\ P T^{2} = 8^{2} + 8^{2} - 2 (8) (8) k o s 120 \\ P T^{2} = 192 \\ P T = \sqrt{192} \\ P T = 13.86 cm \\ Panjang lengkok T R = 13.86 \times 0.5237 \\ = 7.258 cm \end{array}

(c)

\begin{array}{l} Luas sektor P T R \\ = \frac{1}{2} \times {13.86}^{2} \times 0.5237 \\ = 50.30 {cm}^{2} \\ Panjang T Q \\ = \sqrt{P T^{2} - P Q^{2}} \\ = \sqrt{{13.86}^{2} - 12^{2}} \\ = 6.935 cm \\ Luas △ P T Q \\ = \frac{1}{2} \times 12 \times 6.935 \\ = 41.61 {cm}^{2} \\ Luas kawasan berlorek \\ = 50.30 - 41.61 \\ = 8.69 {cm}^{2} \end{array}

1.5.1 Sukatan Membulat, SPM Praktis (Kertas 2 Soalan 1 – 5)

Leave a Comment Cancel reply