Percubaan Matematik Tambahan SPM 2021 (Selangor), Kertas 2 (Soalan 5)

Soalan 5:
Rajah 4(a) menunjukkan dua bulatan sepusat dengan pusat O. ABC ialah tangen kepada bulatan yang lebih kecil di B. Lima segi tiga OAC membentuk satu pentagon sekata diterap dalam bulatan yang lebih besar seperti dalam Rajah 4(b).


Dengan menggunakan π = 3.142,
(a) tunjukkan bahawa panjang OA = 9.889 cm, diberi bahawa OD = 8 cm. [1 markah]

(b) hitung
(i) beza antara panjang, dalam cm, lengkok AC dan lengkok⁡ DE.
(ii) luas, dalam cm², bagi kawasan berwarna biru dalam Rajah 4(b).
[6 markah]


Penyelesaian:
(a)

$\begin{array}{l}\text{Daripada rajah 4}\left(b\right),\\ \angle AOC=\frac{{360}^o}{5}={72}^o\\ \\ \text{Daripada rajah 4}\left(a\right),\\ OD=OB=8\text{ cm}\\ \angle AOB=\frac{1}{2}\left({72}^o\right)={36}^o\\ \mathrm{kos}\angle AOB=\frac{OB}{OA}\\ \mathrm{kos}{36}^o=\frac{8}{OA}\\ OA=\frac{8}{\mathrm{kos}{36}^o}\\ OA=9.889\text{ cm (tertunjuk)}\end{array}$


(b)(i)

$\begin{array}{l}\angle AOC={72}^o\times \frac{\pi }{{180}^o}=\frac{2}{5}\pi \text{ rad}\\ \\ \text{Beza antara lengkok }AC\text{ dan lengkok }DE\\ =j_1\theta -j_2\theta \\ =\left(9.889\right)\left(\frac{2}{5}\pi \right)-\left(8\right)\left(\frac{2}{5}\pi \right)\\ =2.374\text{ cm}\end{array}$


(b)(ii)

$\begin{array}{l}\text{Kawasan berwarna biru dalam Rajah 4}\left(b\right)\\ =\text{ luas bulatan}-\text{ luas 5 buah segi tiga}\\ =\pi j^2-5\left(\frac{1}{2}{j}^2\sin \theta \right)\\ =\pi {\left(9.889\right)}^2-5\left[\frac{1}{2}{\left(9.889\right)}^2\sin {72}^o\right]\\ =307.224-232.515\\ =74.709{\text{ cm}}^2\end{array}$