Percubaan Matematik Tambahan SPM 2021 (Selangor), Kertas 2 (Soalan 6)

Soalan 6:
Rajah 5 menunjukkan dua lengkung $x=\sqrt{y}\text{ dan }x=\frac{y^2}{8}$bersilang pada titik A. Garis lurus AB selari dengan paksi-x.


Cari
(a) persamaan garis lurus AB, [2 markah]

(b) luas, dalam unit², bagi kawasan berlorek, [3 markah]

(c) isi padu yang dijanakan, dalam sebutan π, apabila rantau P, yang dibatasi oleh lengkung $x=\frac{y^2}{8}$ , garis lurus AB dan paksi-y dikisarkan 360^∘ pada paksi-y. [3 markah]


Penyelesaian:
(a)

$\begin{array}{l}x=\sqrt{y}\mathrm{\dots ..}\left(1\right)\\ x=\frac{y^2}{8}\mathrm{\dots ..}\left(2\right)\\ \\ \text{Gantikan (1) ke dalam (2),}\\ \sqrt{y}=\frac{y^2}{8}\\ {\left(y^{\frac{1}{2}}\right)}^2={\left(\frac{y^2}{8}\right)}^2\\ y=\frac{y^4}{64}\\ 64=\frac{y^4}{y}\\ y^3=64\\ y=4\\ \\ \text{Dari (1),}\\ x=\sqrt{4}=2\\ \text{Titik }A=\left(2,4\right)\\ \\ \text{Persamaan garis lurus}AB\text{ ialah }y=4.\end{array}$


(b)

$\begin{array}{l}x=\sqrt{y}\Rightarrow y=x^2\\ x=\frac{y^2}{8}\Rightarrow y=\sqrt{8x}\\ \\ \text{Luas kawasan berlorek}\\ ={\displaystyle {\int }_0^2(y_1}-y_2)dx\\ ={\displaystyle {\int }_0^2(\sqrt{8}{x}^{\frac{1}{2}}-x^2)dx}\\ ={\left[\frac{\sqrt{8}{x}^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}-\frac{x^3}{3}\right]}_0^2\\ ={\left[\frac{2\times 2{\left(2\right)}^{\frac{1}{2}}{x}^{\frac{3}{2}}}{3}-\frac{x^3}{3}\right]}_0^2\\ =\frac{4{\left(2\right)}^{\frac{1}{2}}{\left(2\right)}^{\frac{3}{2}}}{3}-\frac{{\left(2\right)}^3}{3}-0\\ =\frac{16}{3}-\frac{8}{3}\\ =\frac{8}{3}{\text{ unit}}^2\end{array}$


(c)

$\begin{array}{l}x=\frac{y^2}{8}\Rightarrow x^2=\frac{y^4}{64}\\ V=\pi {\displaystyle {\int }_a^b{x}^{2}dy}\\ =\frac{\pi }{64}{\displaystyle {\int }_0^4{y}^{4}dy}\\ =\frac{\pi }{64}{\left[\frac{y^5}{5}\right]}_0^4\\ =\frac{\pi }{64}\left[\frac{4^5}{5}-0\right]\\ =\frac{\pi }{64}\left[\frac{1024}{5}\right]\\ =\frac{16\pi }{5}{\text{ unit}}^3\end{array}$