Percubaan Matematik Tambahan SPM 2021 (Selangor), Kertas 1 (Soalan 3 & 4)

Soalan 3:
(a) Cari nilai p dan q bagi persamaan (√2 – 1)(p + q√2) = 5 – √8. [3 markah]

(b)Cari nilai p yang memuaskan persamaan berikut:
$$\frac{3}{{\log }_{p}pq}+\frac{3}{{\log }_{q}pq}+2=5p$$ [3 markah]


Penyelesaian:
(a)
$\begin{array}{l}\left(\sqrt{2}-1\right)\left(p+q\sqrt{2}\right)=5-\sqrt{8}\\ p+q\sqrt{2}=\frac{5-\sqrt{8}}{\sqrt{2}-1}\\ p+q\sqrt{2}=\frac{5-\sqrt{8}}{\sqrt{2}-1}\times \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+1}\\ p+q\sqrt{2}=\frac{5\sqrt{2}+5-\sqrt{8\times 2}-\sqrt{8}}{1}\\ p+q\sqrt{2}=5\sqrt{2}+5-4-\sqrt{4\times 2}\\ p+q\sqrt{2}=5\sqrt{2}+1-2\sqrt{2}\\ p+q\sqrt{2}=1+3\sqrt{2}\\ p=1,q=3\end{array}$


(b)
$\begin{array}{l}\frac{3}{{\log }_{p}pq}+\frac{3}{{\log }_{q}pq}+2=5p\\ \\ \frac{3}{\frac{{\log }_{pq}pq}{{\log }_{pq}p}}+\frac{3}{\frac{{\log }_{pq}pq}{{\log }_{pq}q}}=5p-2\\ \\ \frac{3{\log }_{pq}p+3{\log }_{pq}q}{{\log }_{pq}pq}=5p-2\\ \\ 3{\log }_{pq}p+3{\log }_{pq}q=5p-2\\ {\log }_{pq}{\left(pq\right)}^3=5p-2\\ 3{\log }_{pq}\left(pq\right)=5p-2\\ 3=5p-2\\ 5p=5\\ p=1\end{array}$

Soalan 4:
Tentukan sama ada persamaan berikut ialah sistem persamaan linear dalam tiga pemboleh ubah atau bukan. Terangkan. [1 markah]
2x + y = z²
4x – 2y + 3z = 6
11y + 5x – z = 3

Selesaikan sistem persamaan linear berikut dan jelaskan hasil dapatan. [4 markah]
y – 7z = -2
x – y + 5z = 2
-2x + 2y – 10z = 6

Penyelesaian:
(a) Bukan, kerana terdapat persamaan yang mempunyai kuasa pemboleh ubah ialah 2.

(b)
y – 7z = -2
y = -2 + 7z ………… (1)

x – y + 5z = 2
2x – 2y + 10z = 4 ………… (2)

-2x + 2y – 10z = 6 ………… (3)

(2) + (3),
0 = 10

Maka, sistem persamaan linear ini tiada penyelesaian kerana 0 ≠ 10.