Matematik Tambahan SPM 2019, Kertas 2 (Soalan 8)

Soalan 8:
Rajah 4 menunjukkan papan sasaran ‘dart’ di sebuah gerai permainan ‘dart’ dalam pesta ria.
Rajah 4

Gerai itu menawarkan 3 ‘dart’ bagi setiap permainan. Pelanggan perlu membayar RM5 untuk bermain satu permainan. Patung mainan beruang akan diberi kepada pelanggan yang dapat mengenai ‘bullseye’ bagi ketiga-tiga balingan ‘dart’ dalam satu permainan. Bob ialah seorang pemain ‘dart’. Secara purata, balingannya kena pada ‘bullseye’ 7 kali daripada 10 ‘dart’ yang dibaling.

(a) Bob akan bermain permainan itu jika dia mempunyai sekurang-kurangnya 90% peluang untuk memenangi sekurang-kurangnya satu patung mainan beruang dengan membelanjakan RM30. Dengan pengiraan matematik, cadangkan kepada Bob sama ada dia patut main permainan itu atau sebaliknya. [4 markah]

(b) Berapakah bilangan minimum permainan yang Bob perlukan supaya dia boleh mendapat 4 patung mainan beruang? [4 markah]

Penyelesaian:
(a)
$\begin{array}{l}X~B\left(3,0.7\right)\\ P\left(X=r\right)={}^{3}C{}_r{\left(0.7\right)}^r{\left(0.3\right)}^{3-r}\\ \\ P\left(\text{memenangi satu patung mainan beruang}\right)\\ =P\left(x=3\right)\\ ={}^{3}C{}_3{\left(0.7\right)}^3{\left(0.3\right)}^0\\ =0.343\\ \\ Y=\text{Bilangan permainan yang Bob perlukan supaya dia}\\ \text{boleh mendapat satu beruang}\text{.}\\ Y~B\left(n,0.343\right)\\ \text{Bilangan permainan yang Bob lakukan}=\frac{\text{RM }30}{\text{RM }5}\\ =6\\ \end{array}$

$\begin{array}{l}P\left(Y\ge 1\right)\ge 0.90\\ 1-P\left(Y=0\right)\ge 0.90\\ P\left(Y=0\right)\le 0.10\\ {}^{n}C{}_0{\left(0.343\right)}^0{\left(0.657\right)}^n\le 0.10\\ {\left(0.657\right)}^n\le 0.10\\ n{\log }_{10}\left(0.657\right)\le {\log }_{10}0.10\\ n\ge 5.481\\ n=6\\ \end{array}$
Dengan bermain 6 permainan, Bob mempunyai sekurang-kurangnya 90% peluang untuk  memenangi sekurang-kurangnya satu patung mainan beruang. Oleh itu, Bob patut main permainan itu.

(b)
np ≥ 4
n(0.343) ≥ 4
n ≥ 11.66
n = 12

Bilangan minimum permainan = 12