Matematik Tambahan SPM 2019, Kertas 2 (Soalan 7)

Soalan 7:
Sebuah pepejal logam dibentuk dengan menggabungkan sebuah kon dan sebuah silinder dengan
jejari sepunya, j cm. Jumlah luas permukaan pepejal itu, L cm², diberi oleh $L=2\pi \left(\frac{18}{j}+\frac{j^2}{3}\right).$

(a)(i) Pepejal itu mengembang apabila dipanaskan. Diberi bahawa luas permukaan pepejal itu
berubah dengan kadar 1.4π cm²s^-1. Cari kadar perubahan jejari, dalam cm s^-1, pada ketika jejarinya ialah 6 cm.

(ii) Cari perubahan hampir bagi luas permukaan pepejal itu, dalam sebutan π, apabila
jejarinya bertambah daripada 6 cm kepada 6.02 cm.
[6 markah]

(b) Jika sebuah pepejal yang samakan dibentuk dengan keadaan jumlah luas permukaan ialah
minimum, cari jumlah luas permukaan minimum bagi pepejal itu, dalam sebutan π. [4 markah]

Penyelesaian:
(a)(i)
$\begin{array}{l}L=2\pi \left(\frac{18}{j}+\frac{j^2}{3}\right)\\ =\frac{36\pi }{j}+\frac{2\pi j^2}{3}\\ =36\pi j^{-1}+\frac{2\pi }{3}{j}^2\\ \frac{dL}{dj}=-36\pi j^{-2}+\frac{4\pi }{3}j\\ =-\frac{36\pi }{j^2}+\frac{4\pi }{3}j\\ \end{array}$

$\begin{array}{l}\text{Apabila }j=6,\\ \frac{dL}{dj}=-\frac{36\pi }{{\left(6\right)}^2}+\frac{4\pi }{3}\left(6\right)\\ =-\pi +8\pi \\ =7\pi \\ \\ \frac{dL}{dt}=\frac{dL}{dj}\times \frac{dj}{dt}\\ 1.4\pi =7\pi \times \frac{dj}{dt}\\ \frac{dj}{dt}=\frac{1.4\pi }{7\pi }\\ =0.2\text{ cm/s}\end{array}$

(a)(ii)
$\begin{array}{l}\delta j=6.02-6\\ =0.02\text{ cm}\\ \delta L=\frac{dL}{dj}\times \delta j\\ =8\pi \times 0.02\\ =1.6\pi {\text{ cm}}^2\end{array}$

(b)
$\begin{array}{l}\frac{dL}{dj}=0,\\ -\frac{36\pi }{j^2}+\frac{4\pi j}{3}=0\\ \frac{4j}{3}=\frac{36}{j^2}\\ j^3=27\\ j^3=3^3\\ j=3\\ \\ \frac{d^{2}L}{d{j}^2}=72\pi j^{-3}+\frac{4\pi }{3}\\ \text{Apabila }j=3,\\ \frac{d^{2}L}{d{j}^2}=\frac{72\pi }{27}+\frac{4\pi }{3}\\ =4\pi >0\\ \therefore A\text{ adalah minimum}\\ \\ A_{\text{minimum}}=2\pi \left(\frac{18}{3}+\frac{9}{3}\right)\\ =18\pi {\text{ cm}}^{\text{2}}\end{array}$