2.11.5 Fungsi Kuadratik, SPM Praktis (Soalan Panjang)

Soalan 9:
Diberi fungsi kuadratik f(x) = 2x² – px + p mempunyai nilai minimum –18 pada nilai x = 1.

1. Cari nilai p dan nilai q.
2. Dengan nilai p dan nilai q yang diperoleh, cari nilai-nilai x di mana graf f(x), memotong paksi-x.
3. Seterusnya, lakarkan graf bagi f(x).

Penyelesaian:
(a)
$\begin{array}{l}f\left(x\right)=2x^2-px+q\\ =2\left[x^2-\frac{p}{2}x+\frac{q}{2}\right]\\ =2\left[{\left(x+\frac{-p}{4}\right)}^2-{\left(\frac{-p}{4}\right)}^2+\frac{q}{2}\right]\\ =2\left[{\left(x-\frac{p}{4}\right)}^2-\frac{p^2}{16}+\frac{q}{2}\right]\\ =2{\left(x-\frac{p}{4}\right)}^2-\frac{p^2}{2}+q\end{array}$

$\begin{array}{l}\text{Maka},\frac{p}{4}=1------\left(1\right)\\ \text{dan }-\frac{p^2}{8}+q=-18---\left(2\right)\\ \text{Dari}\left(\text{1}\right),p=4.\\ \text{Ganti }p=4\text{ ke dalam }\left(2\right):\\ -\frac{{\left(4\right)}^2}{8}+q=-18\\ -\frac{16}{8}+q=-18\\ q=-18+2\\ =-16\end{array}$


(b)
$\begin{array}{l}f\left(x\right)=2x^2-4x-16\\ \text{Memotong paksi-}x,f\left(x\right)=0.\\ 2x^2-4x-16=0\\ x^2-2x-8=0\\ \left(x-4\right)\left(x+2\right)=0\\ x=4,-2\\ \text{Graf }f\left(x\right)\text{ memotong paksi-}x\text{ di }x=-2\text{ dan }x=4.\end{array}$

(c)

Soalan 10:

1. Cari julat nilai k supaya persamaan x² – kx + 3k – 5 = 0 tidak mempunyai punca.
2. Buktikan bahawa punca-punca persamaan kuadratik hx² – (h + 3)x + 1 = 0 adalah nyata dan berbeza untuk semua nilai h.

Penyelesaian:
(a)
$\begin{array}{l}{x}^2-kx+\left(3k-5\right)=0\\ \text{Jika persamaan di atas tidak mempunyai punca,}\\ \text{maka }{b}^2-4ac<0.\\ k^2-4\left(3k-5\right)<0\\ k^2-12k+20<0\\ \left(k-2\right)\left(k-10\right)<0\end{array}$

Graf fungsi y = (k – 2)(k – 10) memotong paksi ufuk di k = 2 dan k = 10.
Graf melekung ke bawah untuk b² – 4ac < 0.


Julat nilai k yang memuaskan ketaksamaan di atas ialah 2 < k < 10.

(b)
$\begin{array}{l}h{x}^2-\left(h+3\right)x+1=0\\ b^2-4ac={\left(h+3\right)}^2-4\left(h\right)\left(1\right)\\ =h^2+6h+9-4h\\ =h^2+2h+9\\ ={\left(h+\frac{2}{2}\right)}^2-{\left(\frac{2}{2}\right)}^2+9\\ ={\left(h+1\right)}^2-1+9\\ ={\left(h+1\right)}^2+8\end{array}$

Nilai minimum bagi (h + 1) + 8 ialah 8, satu nilai positif. Oleh itu, b² – 4ac > 0 untuk semua nilai h.
Maka, punca-punca persamaan kuadratik hx² – (h + 3)x + 1 = 0 adalah nyata dan berbeza untuk semua nilai h.