2.11.1 Fungsi Kuadratik, SPM Praktis (Kertas 2)


2.11.1 Fungsi Kuadratik, SPM Praktis (Kertas 2)
Soalan 1:
(a)  Cari nilai-nilai k supaya persamaan (1 – k) x2– 2(k + 5)x + k + 4 = 0 mempunyai punca yang sama. Seterusnya, cari punca persamaan itu berdasarkan nilai-nilai k yang diperoleh.
(b)  Diberi lengkung y = 5 + 4x – x2 mempunyai persamaan tangen dalam bentuk y = px + 9. Hitung nilai-nilai p yang mungkin.

Penyelesaian:
(a)
Bagi punca-punca yang sama,
b2 – 4ac = 0
[–2(k + 5)] 2 – 4(1 – k)( k + 4) = 0
4(k + 5) 2 – 4(1 – k)( k + 4) = 0
4(k2 + 10k + 25) – 4(4 – 3k – k2) = 0
4k2 + 40k + 100 – 16 + 12k + 4k2= 0
8k2 + 52k + 84 = 0
2k2 + 13k + 21 = 0
(2k + 7) (k + 3) = 0
k = − 7 2 , − 3

Jika k = − 7 2 , persamaan ialah
( 1 + 7 2 ) x 2 − 2 ( − 7 2 + 5 ) x − 7 2 + 4 = 0 9 2 x 2 − 3 x + 1 2 = 0  

9x2 – 6x + 1 = 0
(3x – 1) (3x – 1) = 0
x = ⅓

Jika k = –3, persamaan ialah
(1 + 3)x 2 – 2(–3 + 5)x – 3 + 4 = 0
4x2 – 4x + 1 = 0
(2x – 1) (2x – 1) = 0
x = ½


(b)
y = 5 + 4x – x2 ----- (1)
y = px + 9 ---------- (2)
(1)  = (2), 5 + 4x – x2= px + 9
x2 + px – 4x + 9 – 5 = 0
x2 + (p – 4)x + 4 = 0

Persamaan tangen mempunyai hanya satu titik persilangan, puncanya adalah sama.
b2 – 4ac = 0
(p – 4)2 – 4(1)(4) = 0
p2 – 8p + 16 – 16 = 0
p2 – 8p = 0
p (p – 8) = 0
Maka, p = 0 dan p = 8.


Soalan 2:
Diberi α dan β ialah punca-punca bagi persamaan kuadratik (2x + 5)(x + 1) + p = 0 dengan keadaan αβ = 3 dan p ialah pemalar. Cari nilai p, α dan β.

Penyelesaian:
(2x + 5)(x + 1) + p = 0
2x2 + 2x + 5x + 5 + p = 0
2x2 + 7x + 5 + p = 0
*Bandingkan dengan, x2 – (hasil tambah dua punca)x + hasil darab dua punca = 0

x 2 + 7 2 x + 5 + p 2 = 0 ← bahagi kedua-dua belah dengan 2  
Hasil darab dua punca, αβ = 3
5 + p 2 = 3
5 + p = 6
p = 1

Hasil tambah dua punca = − 7 2  
  α+β=− 7 2  → (1) dan αβ=3  → (2) daripada (2), β= 3 α   → (3) Gantikan (3) ke dalam (1), α+ 3 α =− 7 2  


2α2+ 6 = –7α ← (darab kedua-dua belah dengan 2α)
2α2+ 7α + 6 = 0
(2α + 3)(α + 2) = 0
2α + 3 = 0   atau α + 2 = 0
α = − 3 2
α = –2

Gantikan α=− 3 2  dalam (3), β= 3 − 3 2 =3( − 2 3 )=−2  

Gantikan α = –2 dalam (3),

β=− 3 2 Oleh itu, p=1, dan apabila α=− 3 2 ,β=−2 dan α=−2,β=− 3 2 .  


Leave a Comment