2.11.2 Fungsi Kuadratik, SPM Praktis (Kertas 2)

2.11.2 Fungsi Kuadratik, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 3:

Jika α dan β ialah punca-punca persamaan kuadratik 3x² + 2x– 5 = 0, bentukkan persamaan kuadratik yang mempunyai punca-punca yang berikut.

\begin{array}{l} (a) \frac{2}{α} dan \frac{2}{β} \\ (b) (α + \frac{2}{β}) dan (β + \frac{2}{α}) \end{array}

Penyelesaian:

3x² + 2x – 5 = 0

a = 3, b = 2, c = –5

Punca adalah α dan β.

\begin{array}{l} α + β = - \frac{b}{a} = - \frac{2}{3} \\ α β = \frac{c}{a} = \frac{- 5}{3} \end{array}

(a)

\begin{array}{l} Punca-punca yang baru ialah \frac{2}{α} dan \frac{2}{β} . \\ Hasil tambah punca-punca baru \\ = \frac{2}{α} + \frac{2}{β} = \frac{2 β + 2 α}{α β} \\ = \frac{2 (α + β)}{α β} = \frac{2 (- \frac{2}{3})}{- \frac{5}{3}} = \frac{4}{5} \end{array}

\begin{array}{l} Hasil darab punca-punca \\ = (\frac{2}{α}) (\frac{2}{β}) = \frac{4}{α β} \\ = \frac{4}{- \frac{5}{3}} = - \frac{12}{5} \end{array}

Guna rumus, x²– (hasil tambah punca)x + hasil darab punca = 0

Persamaan kuadratik yang baru ialah

x^{2} - (\frac{4}{5}) x + (- \frac{12}{5}) = 0

5x² – 4x – 12 = 0

(b)

\begin{array}{l} Punca-punca yang baru ialah (α + \frac{2}{β}) dan (β + \frac{2}{α}) . \\ Hasil tambah punca-punca baru \\ = (α + \frac{2}{β}) + (β + \frac{2}{α}) \end{array}

\begin{array}{l} = α + β + (\frac{2}{α} + \frac{2}{β}) = α + β + \frac{2 α + 2 β}{α β} \\ = α + β + \frac{2 (α + β)}{α β} \\ = \frac{4}{5} + \frac{2 (\frac{4}{5})}{- \frac{12}{5}} \\ = \frac{4}{5} - \frac{2}{3} = \frac{2}{15} \end{array}

\begin{array}{l} Hasil darab punca-punca \\ = (α + \frac{2}{β}) (β + \frac{2}{α}) \\ = α β + 2 + 2 + \frac{4}{α β} \end{array}

\begin{array}{l} = - \frac{12}{5} + 4 + \frac{4}{- \frac{12}{5}} \\ = - \frac{12}{5} + 4 - \frac{5}{3} = - \frac{1}{15} \end{array}

Persamaan kuadratik yang baru ialah

x^{2} - (\frac{2}{15}) x + (- \frac{1}{15}) = 0

15x² – 2x– 1 = 0

Soalan 4:
Diberi α dan β adalah punca-punca persamaan kuadratik x (x – 3) = 2k – 4, dengan keadaan k ialah pemalar.

\begin{array}{l} (a) Cari julat nilai jika α \neq β . \\ (b) Diberi \frac{α}{2} dan \frac{β}{2} adalah punca-punca bagi satu lagi persamaan kuadratik \\ 2 x^{2} + t x - 4 = 0, dengan keadaan t ialah pemalar, cari nilai t dan nilai k . \end{array}

Penyelesaian:

\begin{array}{l} (a) \\ x (x - 3) = 2 k - 4 \\ x^{2} - 3 x + 4 - 2 k = 0 \\ a = 1, b = - 3, c = 4 - 2 k \\ b^{2} - 4 a c > 0 \\ {(- 3)}^{2} - 4 (1) (4 - 2 k) > 0 \\ 9 - 16 + 8 k > 0 \\ 8 k > 7 \\ k > \frac{7}{8} \end{array}

\begin{array}{l} (b) \\ Dari persamaan x^{2} - 3 x + 4 - 2 k = 0, \\ α + β = - \frac{b}{a} \\ = - \frac{- 3}{1} \\ = 3…………. (1) \\ α β = \frac{c}{a} \\ = \frac{4 - 2 k}{1} \\ = 4 - 2 k …………. (2) \\ Dari persamaan 2 x^{2} + t x - 4 = 0, \\ \frac{α}{2} + \frac{β}{2} = - \frac{t}{2} \\ α + β = - t …………. (3) \\ \frac{α}{2} \times \frac{β}{2} = - \frac{4}{2} \\ α β = - 8…………. (4) \\ Gantikan (1) = (3), \\ 3 = - t \\ t = - 3 \\ Gantikan (2) = (4), \\ 4 - 2 k = - 8 \\ 4 + 8 = 2 k \\ k = 6 \end{array}