5.4.1 Taburan Kebarangkalian, SPM Praktis (Kertas 2)
Soalan 1:
Dalam suatu peperiksaan, 2 daripada 5 pelajar yang mengambil peperiksaan itu gagal dalam kertas kimia.
(a) Jika 6 orang dipilih secara rawak daripada pelajar-pelajar, cari kebarangkalian bahawa tidak melebihi 2 orang pelajar gagal dalam kertas kimia.
(b) Jika terdapat 200 orang pelajar tingkatan 4 dalam sekolah itu, cari min dan sisihan piawai bilangan orang pelajar gagal kertas kimia.
Penyelesaian:
(a)
X ~ Bilangan pelajar gagal kertas kimia
X ~ B (n, p)
\(X\sim B{(6,\frac25)}\)
P (X = r) = nCr. pr. qn-r
P (X ≤ 2)
= P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2)
\(={}^6C_0{(\frac25)}^0{(\frac35)}^6+{}^6C_1{(\frac25)}^1{(\frac35)}^5+{}^6C_2{(\frac25)}^2{(\frac35)}^4\)
= 0.0467 + 0.1866 + 0.3110
= 0.5443
X ~ B (n, p)
\(\begin{array}{l}X\sim B{(200,\text{ }\frac25)}\\\text{Min bagi }X\\=np=200\times\frac25=80\\\\\text{Sisihan piawai bagi }X\\=\sqrt{npq}\\=\sqrt{200\times\frac25\times\frac35}\\=\sqrt{48}\\=6.93\end{array}\)
Soalan 2:
5% daripada bekalan mangga diterima oleh sebuah supermarket adalah rosak.
(a) Jika suatu sampel yang terdiri daripada 12 biji mangga dipilih secara rawak, cari kebarangkalian bahawa sekurang-kurangnya 2 biji mangga adalah rosak.
(b) Cari bilangan minimum mangga yang perlu dipilih supaya kebarangkalian untuk mendapatkan sekurang-kurangnya sebiji mangga rosak adalah lebih daripada 0.85.
Penyelesaian:
(a)
X ~ B (12, 0.05)
1 – P (X ≤ 1)
= 1 – [P (X = 0) + P (X = 1)]
= 1 – [12C0 (0.05)0 (0.95)12 + 12C1 (0.05)1 (0.95)11]
= 1 – 0.8816
= 0.1184
P (X ≥ 1) > 0.85
1 – P (X = 0) > 0.85
P (X = 0) < 0.15
nC0 (0.05)0 (0.95)n < 0.15
nlg 0.95 < lg 0.15
n > 36.98
n = 37
Oleh itu, bilangan minimum mangga yang perlu dipilih ialah 37 sekiranya kebarangkalian lebih daripada 0.85.
Soalan 3:
Dalam suatu kajian di sebuah sekolah, didapati bahawa 20% daripada pelajar tingkatan 5 gagal dalam peperiksaan tengah tahun. Jika 8 orang pelajar daripada sekolah itu dipilih secara rawak, cari kebarangkalian bahawa
(a) tepat 2 orang pelajar gagal dalam peperiksaan tengah tahun,
(b) kurang daripada 3 orang pelajar gagal dalam peperiksaan tengah tahun.
Penyelesaian:
(a)
p = 20% = 0.2,
q = 1 – 0.2 = 0.8
X ~ B (8, 0.2)
P (X = 2)
= 8C2 (0.2)2 (0.8)6
= 0.2936
(b)
P (X < 3)
= P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2)
= 8C0 (0.2)0 (0.8)8+ 8C1 (0.2)1 (0.8)7+ 8C2 (0.2)2(0.8)6
= 0.16777 + 0.33554 + 0.29360
= 0.79691
Soalan 4:
Dalam suatu kajian di sebuah daerah tertentu, didapati tiga daripada lima keluarga memiliki televisyen LCD.
Jika 10 keluarga dari daerah itu dipilih secara rawak, hitung kebarangkalian bahawa sekurang-kurangnya 8 keluarga memiliki sebuah televisyen LCD.
Penyelesaian:
\(\begin{array}{l}\text{Katakan }X\text{ adalah pembolehubah rawak yang mewakili bilangan}\\\text{keluarga yang memiliki televisyen LCD}\text{.}\\X\sim B{(n,p)}\\X\sim B{(10,\text{ }\frac35)}\\p=\frac35=0.6\\q=1-0.6=0.4\\\\P(X=r)={}^nc_r.p^r.q^{n-r}\\P{(\text{sekurang-kurangnya 8 keluarga memiliki televisyen LCD})}\\P(X\geq8)\\=P{(X=8)}+P{(X=9)}+P{(X=10)}\\={}^{10}C_8{(0.6)}^8{(0.4)}^2+{}^{10}C_9{(0.6)}^9{(0.4)}^1+{}^{10}C_{10}{(0.6)}^{10}{(0.4)}^0\\=0.1209+0.0403+0.0060\\=0.1672\end{array}\)