Matematik Tambahan SPM 2019, Kertas 2 (Soalan 10)

Soalan 10:

\begin{array}{l} (a) (i) Buktikan bahawa t a n \frac{A}{2} = \frac{1 - k o s A}{\sin A} . \\ (ii) {Seterusnya, tanpa menggunakan kalkulator, cari nilai bagi tan15}^{o} . \\ Nyatakan jawapan anda dalam bentuk p - \sqrt{q}, dengan keadaan p \\ dan q ialah pemalar . \\ (b) (i) Lakar graf bagi y = - \frac{3}{2} \sin A untuk 0 \leq A \leq 2 π . \\ (ii) Seterusnya, dengan menggunakan paksi yang sama, lakar satu garis \\ lurus yang sesuai untuk mencari bilangan penyelesaian bagi persamaan \\ (k o t \frac{A}{2}) (1 - k o s A) = - \frac{A}{2 π} untuk 0 \leq A \leq 2 π . \\ Nyatakan bilangan penyelesaian itu . \end{array}

Penyelesaian:
(a)(i)

\begin{array}{l} Sebelah kanan, \\ \frac{1 - k o s A}{\sin A} = \frac{2 \sin^{2} \frac{A}{2}}{2 \sin \frac{A}{2} k o s \frac{A}{2}} \\ = \frac{\sin \frac{A}{2}}{k o s \frac{A}{2}} \\ = \tan \frac{A}{2} \\ = (Sebelah kiri) \end{array}

(a)(ii)

\begin{array}{l} \tan (\frac{30}{2}) = \frac{1 - k o s 30^{o}}{\sin 30^{o}} \\ t a n 15^{o} = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} \\ = \frac{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} \\ = 2 - \sqrt{3} \end{array}

(b)(i)

(b)(ii)

\begin{array}{l} (k o t \frac{A}{2}) (1 - kos A) = - \frac{A}{2 π} \\ \frac{1}{\tan \frac{A}{2}} (1 - kos A) = - \frac{A}{2 π} \\ (\frac{\sin A}{1 - kos A}) (1 - kos A) = - \frac{A}{2 π} \\ \sin A = - \frac{A}{2 π} \\ - \frac{3}{2} \sin A = - \frac{A}{2 π} \times (- \frac{3}{2}) \\ y = \frac{3 A}{4 π} \end{array}

Bilangan penyelesaian = 3