2.8.2 Pembezaan, SPM Praktis (Kertas 2)


Soalan 4:
Lengkung y = x3 – 6x2 + 9x + 3 melalui titik P (2, 5) dan mempunyai dua titik pusingan A (3, 3) dan B.
Cari
(a) kecerunan lengkung itu pada P.
(b) persamaan normal kepada lengkung itu pada P.
(c) koordinat B dan menentukan sama ada B adalah titik maksimum atau titik minimum.


Penyelesaian:
(a)
y = x3 – 6x2 + 9x + 3
dy/dx = 3x2 – 12x + 9
di titik P (2, 5),
dy/dx = 3(2)2 – 12(2) + 9 = –3
Kecerunan lengung pada titik P = –3.

(b)
Kecerunan normal pada titik P = ⅓
persamaan normal pada P (2, 5):
y – y1 = m (x – x1)
y – 5 = ⅓ (x– 2)
3y – 15 = x – 2
3y = x + 13


(c)
Pada titik pusingan dy/dx= 0.
3x2 – 12x + 9 = 0
x2 – 4x + 3 = 0
(x – 1)( x – 3) = 0
x – 1 = 0 atau x – 3 = 0
x = 1 atau x = 3 (titik A)

Pada titik B:
x = 1
y = (1)3– 6(1)2 + 9(1) + 3 = 7
Maka, koordinat B = (1, 7)

Apabila x=1,  d 2 y d x 2 =6x−12 d 2 y d x 2 =6( 1 )−12 d 2 y d x 2 =−6<0 d 2 y d x 2 <0, B ialah titik maksimum.



Soalan 5:
 
Rajah di atas menunjukkan sebuah kon dengan diameter 0.8m dan tinggi 0.6m. Air dituang ke dalam kon dengan kadar tetap 0.02m3s-1. Cari kadar perubahan tinggi paras air pada ketika tinggi parasnya ialah 0.5m.


Penyelesaian:


Isipadu air, I= 1 3 π j 2 h I= 1 3 π ( 2 3 h ) 2 h I= 4 27 π h 3 dI dh =( 3 ) 4 27 π h 2 dI dh = 4 9 π h 2


Kadar perubahan tinggi paras air pada ketika tinggi parasnya ialah 0.5m = d h d t .

dh dt = dh dI × dI dt ←  Petua rantai  dh dt = 9 4π h 2 ×0.02←  Diberi  dI dt =0.02  dh dt = 9 4π ( 0.5 ) 2 ×0.02 dh dt =0.0572 m s −1

Katakan,
h = tinggi paras air
j = jejari permukaan air
I = isipadu air

j h = 0.4 0.6 ←  Konsep segitiga serupa  j h = 2 3 j= 2 3 h

 

Leave a Comment