Soalan 12:
Sebuah ladang menghasilkan strawberi. Jisim strawberi, x gram, adalah bertabur secara normal dengan keadaan X ∼ N[20, (0.5)2].
(a) Nyatakan min dan varians bagi taburan itu. [1 markah]
(b) Rajah 8 menunjukkan graf taburan normal piawai bagi jisim strawberi. Rantau berlorek mewakili kebarangkalian bahawa jisim strawberi adalah antara (-α + 40) gram dan α gram.
(i) Jika rantau berlorek mewakili P(|Z| < k), ungkapkan m dalam sebutan α.
(ii) Cari nilai α apabila P(|Z|< k) = 0.2662.
[3 markah]
Penyelesaian:
(a)
$$ \begin{aligned} & X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right) \\ & X \sim N\left(20,0.5^2\right) \\ & \text { Min }=20 \\ & \text { Varians }=(0.5)^2=0.25 \end{aligned} $$
(b)(i)
$$ \begin{aligned} &\begin{aligned} X & \sim N\left(20,0.5^2\right) \\ Z & =\frac{x-\mu}{\sigma} \end{aligned}\\ &\text { Diberi rantau berlorek }\\ &\begin{aligned} & =P(-\alpha+40<X<\alpha) \\ & =P\left(\frac{-\alpha+40-20}{0.5}<Z<\frac{\alpha-20}{0.5}\right) \\ & =P\left(\frac{-\alpha+20}{0.5}<Z<\frac{\alpha-20}{0.5}\right) \end{aligned} \end{aligned} $$
Diberi juga rantau berlorek mewakili P(| Z ∣ < k).
$$ \begin{aligned} &P(-k<Z<k)=P(m<Z<k)\\ &\text { Bandingkan dengan rantau berlorek di atas, }\\ &\begin{aligned} & m=\frac{-\alpha+20}{0.5} \\ & m=\frac{(-\alpha+20) \times 2}{0.5 \times 2} \\ & m=40-2 \alpha \end{aligned} \end{aligned} $$
(b)(ii)
$$ \begin{aligned} P(|Z|<k) & =0.2662 \\ P(-k<Z<k) & =0.2662 \\ 1-P(Z<-k)-P(Z>k) & =0.2662 \\ 1-P(Z>k)-P(Z>k) & =0.2662 \\ 1-2 P(Z>k) & =0.2662 \\ 2 P(Z>k) & =0.7338 \\ P(Z>k) & =0.3669 \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} &\text { Daripada jadual, } k=0.34\\ &\begin{aligned} m & =40-2 \alpha[\text { Dari } b(i i)] \\ -0.34 & =40-2 \alpha \\ 2 \alpha & =40.34 \\ \alpha & =20.17 \end{aligned} \end{aligned} $$
Sebuah ladang menghasilkan strawberi. Jisim strawberi, x gram, adalah bertabur secara normal dengan keadaan X ∼ N[20, (0.5)2].
(a) Nyatakan min dan varians bagi taburan itu. [1 markah]
(b) Rajah 8 menunjukkan graf taburan normal piawai bagi jisim strawberi. Rantau berlorek mewakili kebarangkalian bahawa jisim strawberi adalah antara (-α + 40) gram dan α gram.
(i) Jika rantau berlorek mewakili P(|Z| < k), ungkapkan m dalam sebutan α.
(ii) Cari nilai α apabila P(|Z|< k) = 0.2662.
[3 markah]
Penyelesaian:
(a)
$$ \begin{aligned} & X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right) \\ & X \sim N\left(20,0.5^2\right) \\ & \text { Min }=20 \\ & \text { Varians }=(0.5)^2=0.25 \end{aligned} $$
(b)(i)
$$ \begin{aligned} &\begin{aligned} X & \sim N\left(20,0.5^2\right) \\ Z & =\frac{x-\mu}{\sigma} \end{aligned}\\ &\text { Diberi rantau berlorek }\\ &\begin{aligned} & =P(-\alpha+40<X<\alpha) \\ & =P\left(\frac{-\alpha+40-20}{0.5}<Z<\frac{\alpha-20}{0.5}\right) \\ & =P\left(\frac{-\alpha+20}{0.5}<Z<\frac{\alpha-20}{0.5}\right) \end{aligned} \end{aligned} $$
Diberi juga rantau berlorek mewakili P(| Z ∣ < k).
$$ \begin{aligned} &P(-k<Z<k)=P(m<Z<k)\\ &\text { Bandingkan dengan rantau berlorek di atas, }\\ &\begin{aligned} & m=\frac{-\alpha+20}{0.5} \\ & m=\frac{(-\alpha+20) \times 2}{0.5 \times 2} \\ & m=40-2 \alpha \end{aligned} \end{aligned} $$
(b)(ii)
$$ \begin{aligned} P(|Z|<k) & =0.2662 \\ P(-k<Z<k) & =0.2662 \\ 1-P(Z<-k)-P(Z>k) & =0.2662 \\ 1-P(Z>k)-P(Z>k) & =0.2662 \\ 1-2 P(Z>k) & =0.2662 \\ 2 P(Z>k) & =0.7338 \\ P(Z>k) & =0.3669 \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} &\text { Daripada jadual, } k=0.34\\ &\begin{aligned} m & =40-2 \alpha[\text { Dari } b(i i)] \\ -0.34 & =40-2 \alpha \\ 2 \alpha & =40.34 \\ \alpha & =20.17 \end{aligned} \end{aligned} $$