Soalan 10:
Penyelesaian yang menggunakan selain daripada kalkulus adalah tidak diterima.
(a) Pada hari Ahad, Mus membeli sejumlah bola berbentuk sfera dengan jejari 5 cm . Beberapa biji bola itu akan disusun sebaris di atas sebuah rak yang panjangnya 2.5 m . Pada hari Isnin, isi padu setiap bola itu menyusut secara seragam sebanyak 20π cm3.
Tentukan bilangan maksimum bola yang boleh disusun di atas rak itu pada hari Isnin. [4 markah]
(b) Diberi bahawa h(x) = 3x2 + 7x – 8, tentukan sifat titik pusingan bagi h(x). Justifikasikan jawapan anda.
[2 markah]
(c)
$$ \text { Fungsi kecerunan suatu lengkung ialah }(2 x+1)^3 \text {. Lengkung itu melalui }\left(\frac{1}{2}, 5\right) \text {. } $$
Cari persamaan lengkung itu. Beri jawapan anda dalam bentuk y = a(2x + 1)b + c dengan a, b dan c ialah permalar.
[3 markah]
Penyelesaian:
(a)
$$ \begin{aligned} & \text { Isi padu }_{\text {sfera }}=\frac{4}{3} \pi j^3, \quad \delta v=20 \pi \mathrm{~cm}^3 \\ & \begin{aligned} \frac{\delta v}{\delta j}& =\left(\frac{4}{3}\right)(3) \pi j^2 \\ & =4 \pi j^2 \end{aligned} \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} &\text { Apabila } j=5 \mathrm{~cm}, 4 \pi(5)^2=100 \pi\\ &\begin{aligned} & \frac{\delta j}{\delta v} \approx \frac{\mathrm{~d} j}{\mathrm{~d} v} \\ & \frac{\delta j}{-20 \pi} \approx \frac{1}{100 \pi} \\ & \delta j \approx-0.2 \\ & j_{\text {baru }}=j_{\text {lama }}+\delta j \\ &=5 \mathrm{~cm}+(-0.2) \\ &=4.8 \mathrm{~cm} \\ & \begin{aligned} d_{\text {baru }} & =2(4.8 \mathrm{~cm}) \\ & =9.6 \mathrm{~cm} \end{aligned} \end{aligned}\\ &\begin{aligned} \text { Bilangan bola } & \approx \frac{250 \mathrm{~cm}}{9.6 \mathrm{~cm}} \\ & \approx 26.04 \\ & =26 \text { biji bola } \end{aligned} \end{aligned} $$
(b)
$$ \begin{aligned} &\begin{aligned} & h(x)=3 x^2+7 x-8 \\ & h^{\prime}(x)=6 x+7 \\ & h^{\prime \prime}(x)=6>0 \end{aligned}\\ &\therefore h^{\prime \prime}(x)>0 \text {, titik pusingan minimum. } \end{aligned} $$
(c)
$$ \begin{aligned} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x} & =(2 x+1)^3 \\ \int_{\mathrm{d} y} & =\int(2 x+1)^3 \mathrm{~d} x \\ y & =\frac{(2 x+1)^4}{(4)(2)}+c \\ y & =\frac{1}{8}(2 x+1)^4+c, \text pada\left(\frac{1}{2}, 5\right) \\ 5 & =\frac{1}{8}\left[2\left(\frac{1}{2}\right)+1\right]^4+c \\ 5 & =2+c \\ c & =3 \\ \therefore y & =\frac{1}{8}(2 x+1)^4+3 \end{aligned} $$
Penyelesaian yang menggunakan selain daripada kalkulus adalah tidak diterima.
(a) Pada hari Ahad, Mus membeli sejumlah bola berbentuk sfera dengan jejari 5 cm . Beberapa biji bola itu akan disusun sebaris di atas sebuah rak yang panjangnya 2.5 m . Pada hari Isnin, isi padu setiap bola itu menyusut secara seragam sebanyak 20π cm3.
Tentukan bilangan maksimum bola yang boleh disusun di atas rak itu pada hari Isnin. [4 markah]
(b) Diberi bahawa h(x) = 3x2 + 7x – 8, tentukan sifat titik pusingan bagi h(x). Justifikasikan jawapan anda.
[2 markah]
(c)
$$ \text { Fungsi kecerunan suatu lengkung ialah }(2 x+1)^3 \text {. Lengkung itu melalui }\left(\frac{1}{2}, 5\right) \text {. } $$
Cari persamaan lengkung itu. Beri jawapan anda dalam bentuk y = a(2x + 1)b + c dengan a, b dan c ialah permalar.
[3 markah]
Penyelesaian:
(a)
$$ \begin{aligned} & \text { Isi padu }_{\text {sfera }}=\frac{4}{3} \pi j^3, \quad \delta v=20 \pi \mathrm{~cm}^3 \\ & \begin{aligned} \frac{\delta v}{\delta j}& =\left(\frac{4}{3}\right)(3) \pi j^2 \\ & =4 \pi j^2 \end{aligned} \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} &\text { Apabila } j=5 \mathrm{~cm}, 4 \pi(5)^2=100 \pi\\ &\begin{aligned} & \frac{\delta j}{\delta v} \approx \frac{\mathrm{~d} j}{\mathrm{~d} v} \\ & \frac{\delta j}{-20 \pi} \approx \frac{1}{100 \pi} \\ & \delta j \approx-0.2 \\ & j_{\text {baru }}=j_{\text {lama }}+\delta j \\ &=5 \mathrm{~cm}+(-0.2) \\ &=4.8 \mathrm{~cm} \\ & \begin{aligned} d_{\text {baru }} & =2(4.8 \mathrm{~cm}) \\ & =9.6 \mathrm{~cm} \end{aligned} \end{aligned}\\ &\begin{aligned} \text { Bilangan bola } & \approx \frac{250 \mathrm{~cm}}{9.6 \mathrm{~cm}} \\ & \approx 26.04 \\ & =26 \text { biji bola } \end{aligned} \end{aligned} $$
(b)
$$ \begin{aligned} &\begin{aligned} & h(x)=3 x^2+7 x-8 \\ & h^{\prime}(x)=6 x+7 \\ & h^{\prime \prime}(x)=6>0 \end{aligned}\\ &\therefore h^{\prime \prime}(x)>0 \text {, titik pusingan minimum. } \end{aligned} $$
(c)
$$ \begin{aligned} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x} & =(2 x+1)^3 \\ \int_{\mathrm{d} y} & =\int(2 x+1)^3 \mathrm{~d} x \\ y & =\frac{(2 x+1)^4}{(4)(2)}+c \\ y & =\frac{1}{8}(2 x+1)^4+c, \text pada\left(\frac{1}{2}, 5\right) \\ 5 & =\frac{1}{8}\left[2\left(\frac{1}{2}\right)+1\right]^4+c \\ 5 & =2+c \\ c & =3 \\ \therefore y & =\frac{1}{8}(2 x+1)^4+3 \end{aligned} $$