Soalan 5:
$$ \text { Koordinat bagi titik } P \text { dan titik } Q \text { masing-masing ialah }(2,3) \text { dan }(q, 2 q) \text {. } $$
$$ \text { Diberi bahawa } \overrightarrow{P Q} \text { ialah vektor unit. } $$
$$ \text { Menggunakan hukum segi tiga vektor, cari nilai-nilai yang mungkin bagi } q \text {. } $$
[4 markah]
Penyelesaian:
$$ \begin{aligned} \overrightarrow{O P} & =2 \underline{i}+3 \underline{j} \\ \overrightarrow{O Q} & =q \underline{i}+2 q \underline{j} \\ \overrightarrow{P Q} & =\overrightarrow{P O}+\overrightarrow{O Q} \\ & =-2 \underline{i}-3 \underline{j}+q \underline{i}+2 q \underline{j} \\ & =(-2+q) \underline{i}+(-3+2 q) \underline{j} \end{aligned} $$
$$ \text { Vektor unit, }|\overrightarrow{P Q}|=1 $$
$$ \begin{aligned} &\text { Maka, }\\ &\begin{aligned} & \sqrt{(-2+q)^2+(-3+2 q)^2}=1 \\ & 4-4 q+q^2+9-12 q+4 q^2=1 \\ & 5 q^2-16 q+12=0 \\ &(5 q-6)(q-2)=0 \\ & q=\frac{6}{5}, q=2 \end{aligned} \end{aligned} $$
$$ \text { Koordinat bagi titik } P \text { dan titik } Q \text { masing-masing ialah }(2,3) \text { dan }(q, 2 q) \text {. } $$
$$ \text { Diberi bahawa } \overrightarrow{P Q} \text { ialah vektor unit. } $$
$$ \text { Menggunakan hukum segi tiga vektor, cari nilai-nilai yang mungkin bagi } q \text {. } $$
[4 markah]
Penyelesaian:
$$ \begin{aligned} \overrightarrow{O P} & =2 \underline{i}+3 \underline{j} \\ \overrightarrow{O Q} & =q \underline{i}+2 q \underline{j} \\ \overrightarrow{P Q} & =\overrightarrow{P O}+\overrightarrow{O Q} \\ & =-2 \underline{i}-3 \underline{j}+q \underline{i}+2 q \underline{j} \\ & =(-2+q) \underline{i}+(-3+2 q) \underline{j} \end{aligned} $$
$$ \text { Vektor unit, }|\overrightarrow{P Q}|=1 $$
$$ \begin{aligned} &\text { Maka, }\\ &\begin{aligned} & \sqrt{(-2+q)^2+(-3+2 q)^2}=1 \\ & 4-4 q+q^2+9-12 q+4 q^2=1 \\ & 5 q^2-16 q+12=0 \\ &(5 q-6)(q-2)=0 \\ & q=\frac{6}{5}, q=2 \end{aligned} \end{aligned} $$
Soalan 6:
$$ \text { Pemboleh ubah } x \text { dan } y \text { dihubungkan oleh persamaan } y=\frac{p x}{q x-1} \text {, } $$
dengan keadaan p dan q ialah pemalar.
Jika graf y melawan x dilukis, lengkungnya akan melalui (½ , -6) manakala satu garis lurus dengan kecerunan 1/8 diperoleh apabila graf 1/y melawan 1/x dilukis.
Cari nilai p dan nilai q.
[4 markah]
Penyelesaian:
$$ \begin{aligned} y & =\frac{p x}{q x-1} \\ \frac{1}{y} & =\frac{q x-1}{p x} \\ \frac{1}{y} & =\frac{q}{p}-\frac{1}{p x} \\ \frac{1}{y} & =-\frac{1}{p}\left(\frac{1}{x}\right)+\frac{q}{p} \\ -\frac{1}{p} & =\frac{1}{8} \\ p & =-8 \end{aligned} $$
$$ \text { Ganti } , p=-8, x=\frac{1}{2}, y=-6 $$
$$ \begin{aligned} -6 & =\frac{(-8)\left(\frac{1}{2}\right)}{q\left(\frac{1}{2}\right)-1} \\ -3 q+6 & =-4 \\ 3 q & =10 \\ q & =\frac{10}{3} \end{aligned} $$
$$ \text { Pemboleh ubah } x \text { dan } y \text { dihubungkan oleh persamaan } y=\frac{p x}{q x-1} \text {, } $$
dengan keadaan p dan q ialah pemalar.
Jika graf y melawan x dilukis, lengkungnya akan melalui (½ , -6) manakala satu garis lurus dengan kecerunan 1/8 diperoleh apabila graf 1/y melawan 1/x dilukis.
Cari nilai p dan nilai q.
[4 markah]
Penyelesaian:
$$ \begin{aligned} y & =\frac{p x}{q x-1} \\ \frac{1}{y} & =\frac{q x-1}{p x} \\ \frac{1}{y} & =\frac{q}{p}-\frac{1}{p x} \\ \frac{1}{y} & =-\frac{1}{p}\left(\frac{1}{x}\right)+\frac{q}{p} \\ -\frac{1}{p} & =\frac{1}{8} \\ p & =-8 \end{aligned} $$
$$ \text { Ganti } , p=-8, x=\frac{1}{2}, y=-6 $$
$$ \begin{aligned} -6 & =\frac{(-8)\left(\frac{1}{2}\right)}{q\left(\frac{1}{2}\right)-1} \\ -3 q+6 & =-4 \\ 3 q & =10 \\ q & =\frac{10}{3} \end{aligned} $$
Soalan 7:
Rajah 2 menunjukkan sektor AOB dan sektor COD terterap dalam sebuah bulatan dengan pusat O.
Jejari bulatan dan jejari sektor COD masing-masing ialah h cm dan k cm. Panjang lengkok CP dan panjang lengkok PD adalah sama. Diberi bahawa perimeter sektor minor AOB ialah 15.235 cm dan luas kawasan berlorek ialah 8.376 cm2.
[Guna π = 3.142 ]
(a) Nyatakan ∠COD, dalam sebutan π, [1 markah]
(b) Seterusnya, hitung nilai h dan nilai k kepada integer terhampir.
[6 markah]
Penyelesaian:
(a) $$ \frac{120 \pi}{180}=\frac{2}{3} \pi $$
(b) $$ \begin{aligned} \angle A O B & =\frac{60(3.142)}{180} \\ & =1.047 \mathrm{rad} \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} h+h+1.047 h & =15.235 \\ 3.047 h & =15.235 \\ h & =5 \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} &\frac{1}{2}(5)^2(1.047)-\frac{1}{2}(k)^2(1.047)=8.376\\ &\begin{aligned} k^2 & =9 \\ k & =3, k=-3 \text { (abai } ) \\ k & =3 \end{aligned} \end{aligned} $$
Rajah 2 menunjukkan sektor AOB dan sektor COD terterap dalam sebuah bulatan dengan pusat O.
Jejari bulatan dan jejari sektor COD masing-masing ialah h cm dan k cm. Panjang lengkok CP dan panjang lengkok PD adalah sama. Diberi bahawa perimeter sektor minor AOB ialah 15.235 cm dan luas kawasan berlorek ialah 8.376 cm2.
[Guna π = 3.142 ]
(a) Nyatakan ∠COD, dalam sebutan π, [1 markah]
(b) Seterusnya, hitung nilai h dan nilai k kepada integer terhampir.
[6 markah]
Penyelesaian:
(a) $$ \frac{120 \pi}{180}=\frac{2}{3} \pi $$
(b) $$ \begin{aligned} \angle A O B & =\frac{60(3.142)}{180} \\ & =1.047 \mathrm{rad} \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} h+h+1.047 h & =15.235 \\ 3.047 h & =15.235 \\ h & =5 \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} &\frac{1}{2}(5)^2(1.047)-\frac{1}{2}(k)^2(1.047)=8.376\\ &\begin{aligned} k^2 & =9 \\ k & =3, k=-3 \text { (abai } ) \\ k & =3 \end{aligned} \end{aligned} $$