Soalan 1:
Rajah 1 menunjukkan pemetaan bagi fungsi f, dengan keadaan p ialah pemalar.
(a) Nyatakan objek yang tidak mempunyai imej. [1 markah]
(b) Cari nilai p. [2 markah]
Penyelesaian:
(a) x = 6
(b) $$ \begin{aligned} \frac{3 p}{6-2} & =9 \\ 3 p & =36 \\ p & =12 \end{aligned} $$
Rajah 1 menunjukkan pemetaan bagi fungsi f, dengan keadaan p ialah pemalar.
(a) Nyatakan objek yang tidak mempunyai imej. [1 markah](b) Cari nilai p. [2 markah]
Penyelesaian:
(a) x = 6
(b) $$ \begin{aligned} \frac{3 p}{6-2} & =9 \\ 3 p & =36 \\ p & =12 \end{aligned} $$
Soalan 2:
(a) Ungkapkan p dalam sebutan k bagi
$$ \begin{aligned} &\text { (i) } x^{2 k+p}=1 \text {, }\\ &\text { (ii) } \quad a^p=(\sqrt[k]{a})^6 \text {. } \end{aligned} $$
[2 markah]
(b) $$ \text { Diberi bahawa } 3+\frac{3^y}{3^{2(x+1)}}=84 \text {, ungkapkan } y \text { dalam sebutan } x \text {. } $$
[2 markah]
Penyelesaian:
(a)(i) $$ \begin{aligned} x^{2 k+p} & =x^0 \\ 2 k+p & =0 \\ p & =-2 k \end{aligned} $$
(a)(ii) $$ \begin{aligned} &a^p=\left(a^{1 / k}\right)^6\\ &\text { Bandingkan kuasa }\\ &\begin{aligned} & p=\frac{1}{k}(6) \\ & p=\frac{6}{k} \end{aligned} \end{aligned} $$
(b) $$ \begin{aligned} &3^{y-2 x-2}=3^4\\ &\text { Bandingkan kuasa }\\ &\begin{aligned} y-2 x-2 & =4 \\ y & =2 x+6 \end{aligned} \end{aligned} $$
(a) Ungkapkan p dalam sebutan k bagi
$$ \begin{aligned} &\text { (i) } x^{2 k+p}=1 \text {, }\\ &\text { (ii) } \quad a^p=(\sqrt[k]{a})^6 \text {. } \end{aligned} $$
[2 markah]
(b) $$ \text { Diberi bahawa } 3+\frac{3^y}{3^{2(x+1)}}=84 \text {, ungkapkan } y \text { dalam sebutan } x \text {. } $$
[2 markah]
Penyelesaian:
(a)(i) $$ \begin{aligned} x^{2 k+p} & =x^0 \\ 2 k+p & =0 \\ p & =-2 k \end{aligned} $$
(a)(ii) $$ \begin{aligned} &a^p=\left(a^{1 / k}\right)^6\\ &\text { Bandingkan kuasa }\\ &\begin{aligned} & p=\frac{1}{k}(6) \\ & p=\frac{6}{k} \end{aligned} \end{aligned} $$
(b) $$ \begin{aligned} &3^{y-2 x-2}=3^4\\ &\text { Bandingkan kuasa }\\ &\begin{aligned} y-2 x-2 & =4 \\ y & =2 x+6 \end{aligned} \end{aligned} $$
Soalan 3:
(a) $$ \text { Terbitkan bahawa } \log _a m n=\log _a m+\log _a n \text {. } $$
[3 markah]
(b) $$ \text { Seterusnya, cari nilai } u \text { jika } \log _u(u+3)+\log _u(u-1)=2 \text {. } $$
[3 markah]
Penyelesaian:
(a) $$ \begin{aligned} & \text { Jika } \\ & \log _a m n=p, m n=a^p \\ & \log _a m=q, m=a^q \\ & \log _a n=r, n=a^r \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} &\text { Jadi, }\\ &m n=a^q a^r=a^{q+r} \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} &\text { Maka, }\\ &\log _a m n=q+r=\log _a m+\log _a n \end{aligned} $$
(b) $$ \begin{aligned} \log _u(u+3)(u-1) & =2 \\ (u+3)(u-1) & =u^2 \\ u^2+2 u-3 & =u^2 \\ 2 u & =3 \\ u & =\frac{3}{2} \end{aligned} $$
(a) $$ \text { Terbitkan bahawa } \log _a m n=\log _a m+\log _a n \text {. } $$
[3 markah]
(b) $$ \text { Seterusnya, cari nilai } u \text { jika } \log _u(u+3)+\log _u(u-1)=2 \text {. } $$
[3 markah]
Penyelesaian:
(a) $$ \begin{aligned} & \text { Jika } \\ & \log _a m n=p, m n=a^p \\ & \log _a m=q, m=a^q \\ & \log _a n=r, n=a^r \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} &\text { Jadi, }\\ &m n=a^q a^r=a^{q+r} \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} &\text { Maka, }\\ &\log _a m n=q+r=\log _a m+\log _a n \end{aligned} $$
(b) $$ \begin{aligned} \log _u(u+3)(u-1) & =2 \\ (u+3)(u-1) & =u^2 \\ u^2+2 u-3 & =u^2 \\ 2 u & =3 \\ u & =\frac{3}{2} \end{aligned} $$
Soalan 4:
(a) Fei membeli seketul blok ais berbentuk kubus. Dalam perjalanan pulang, ais itu mencair dengan kadar 5.5 cm3 seminit.
Tentukan kadar perubahan panjang sisi, dalam cm s-1, ais itu pada ketika panjang sisinya ialah 15 cm.
[3 markah]
(b) $$ \text { Diberi bahawa } \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} x}\left[\frac{5}{1-x^2}\right]=g(x) \text {, cari } \int[2 g(x)+3] \mathrm{d} x \text {. } $$
[3 markah]
Penyelesaian:
(a) $$ \begin{aligned} \frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{~d} t} & =\frac{-5.5}{60} \mathrm{~cm}^3 \mathrm{~s}^{-1} \\ V & =x^3 \\ \frac{\mathrm{~d} V}{\mathrm{~d} x} & =3 x^2 \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} &\text { Bila } x=15 \text {, }\\ &\begin{aligned} \frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{~d} x} & =3(15)^2 \\ & =675 \end{aligned} \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t} & =\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} V} \times \frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{~d} t} \\ & =\frac{1}{\mathrm{~d} V} \times \frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{~d} t} \\ & =\frac{1}{675} \times \frac{-5.5}{60} \\ & =\frac{-11}{81000} \end{aligned} $$
(b) $$ \begin{aligned} & \int[2 g(x)+3] \mathrm{d} x \\ & =\int 2 g(x) \mathrm{d} x+\int 3 \mathrm{~d} x \\ & =2\left(\frac{5}{1-x^2}\right)+3 x+c \end{aligned} $$
(a) Fei membeli seketul blok ais berbentuk kubus. Dalam perjalanan pulang, ais itu mencair dengan kadar 5.5 cm3 seminit.
Tentukan kadar perubahan panjang sisi, dalam cm s-1, ais itu pada ketika panjang sisinya ialah 15 cm.
[3 markah]
(b) $$ \text { Diberi bahawa } \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} x}\left[\frac{5}{1-x^2}\right]=g(x) \text {, cari } \int[2 g(x)+3] \mathrm{d} x \text {. } $$
[3 markah]
Penyelesaian:
(a) $$ \begin{aligned} \frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{~d} t} & =\frac{-5.5}{60} \mathrm{~cm}^3 \mathrm{~s}^{-1} \\ V & =x^3 \\ \frac{\mathrm{~d} V}{\mathrm{~d} x} & =3 x^2 \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} &\text { Bila } x=15 \text {, }\\ &\begin{aligned} \frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{~d} x} & =3(15)^2 \\ & =675 \end{aligned} \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t} & =\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} V} \times \frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{~d} t} \\ & =\frac{1}{\mathrm{~d} V} \times \frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{~d} t} \\ & =\frac{1}{675} \times \frac{-5.5}{60} \\ & =\frac{-11}{81000} \end{aligned} $$
(b) $$ \begin{aligned} & \int[2 g(x)+3] \mathrm{d} x \\ & =\int 2 g(x) \mathrm{d} x+\int 3 \mathrm{~d} x \\ & =2\left(\frac{5}{1-x^2}\right)+3 x+c \end{aligned} $$