Soalan 4:
Rajah 2 menunjukkan lengkung y = 4x – x2 dan tangen kepada lengkung pada titik Q melalui titik P.
Rajah 2
(a) Tunjukkan bahawa h = 3. [4 markah]
(b) Hitung luas rantau berlorek. [4 markah]
Penyelesaian:
(a)
\(\begin{array}{l}y=4x-x^2\\\frac{dy}{dx}=4-2x\\\text{Pada titik }Q{(h,\text{ }4h-h^2)}\\\frac{dy}{dx}=4-2h\\\text{Persamaan tangen pada }Q\\y-y_1=\frac{dy}{dx}{(x-x_1)}\\y-{(4h-h^2)}={(4-2h)}{(x-h)}\\\end{array}\)
\(\begin{array}{l}\text{Pada titik }P{(2,\text{ }5)},\text{ }x=2,\text{ }y=5\\5-4h+h^2={(4-2h)}{(2-h)}\\5-4h+h^2=8-4h-4h+2h^2\\h^2-4h+3=0\\{(h-1)}{(h-3)}=0\\h=1\text{ }{(\text{ditolak})},\\h=3\end{array}\)
(b)
\(\begin{array}{l}\text{Luas rantau berlorek}\\\text{= Luas trapezium}-\text{Luas rantau yang dibatasi oleh lengkung}\\=\frac12{(a+b)}h-\int_2^3y\text{ }dx\\=\frac12{(5+3)}1-\int_2^34x-x^2\text{ }dx\\=4-{\lbrack\frac{4x^2}2-\frac{x^3}3\rbrack}_2^3\\\\=4-{\lbrack18-9-{(8-\frac83)}\rbrack}\\=4-9+{(8-\frac83)}\\=\frac13\text{ unit}^2\end{array}\)
Rajah 2 menunjukkan lengkung y = 4x – x2 dan tangen kepada lengkung pada titik Q melalui titik P.
Rajah 2(a) Tunjukkan bahawa h = 3. [4 markah]
(b) Hitung luas rantau berlorek. [4 markah]
Penyelesaian:
(a)
\(\begin{array}{l}y=4x-x^2\\\frac{dy}{dx}=4-2x\\\text{Pada titik }Q{(h,\text{ }4h-h^2)}\\\frac{dy}{dx}=4-2h\\\text{Persamaan tangen pada }Q\\y-y_1=\frac{dy}{dx}{(x-x_1)}\\y-{(4h-h^2)}={(4-2h)}{(x-h)}\\\end{array}\)
(b)
\(\begin{array}{l}\text{Luas rantau berlorek}\\\text{= Luas trapezium}-\text{Luas rantau yang dibatasi oleh lengkung}\\=\frac12{(a+b)}h-\int_2^3y\text{ }dx\\=\frac12{(5+3)}1-\int_2^34x-x^2\text{ }dx\\=4-{\lbrack\frac{4x^2}2-\frac{x^3}3\rbrack}_2^3\\\\=4-{\lbrack18-9-{(8-\frac83)}\rbrack}\\=4-9+{(8-\frac83)}\\=\frac13\text{ unit}^2\end{array}\)