2.4 Pembezaan Peringkat Kedua, Titik Pusingan: Titik Maksimum dan Titik Minimum

2.4 Pembezaan Peringkat Kedua, Titik Pusingan: Titik Maksimum dan Titik Minimum

(A) Pembezaan Peringkat Kedua

1. Apabila suatu fungsi y = x³+ x²– 3x + 6 dibezakan terhadap x, terbitannya

\frac{d y}{d x} = 3 x^{2} + 2 x - 3

2. Fungsi yang kedua

\frac{d y}{d x}

boleh dibeza lagi terhadap x. Proses pembezaan dua kali berturut-turut ini dikenali sebagai pembezaan peringkat kedua dan ditulis sebagai

\frac{d^{2} y}{d x^{2}}

3. Ambil perhatian bahawa

\frac{d^{2} y}{d x^{2}} \neq {(\frac{d y}{d x})}^{2}

Misalnya,

Jika y = 4x³ – 7x² + 5x – 1,

Terbitan pertama

\frac{d y}{d x} = 12 x^{2} - 14 x + 5

Terbitan kedua

\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 24 x - 14

(B) Titik Pusingan: Titik Maksimum dan Titik Minimum

(a) Di titik pusingan A dan B,

\frac{d y}{d x} = 0

(b) Di titik maksimum A,

\frac{d y}{d x} = 0 dan \frac{d^{2} y}{d x^{2}} < 0

(c) Di titik minimum B,

\frac{d y}{d x} = 0 dan \frac{d^{2} y}{d x^{2}} > 0

Contoh 1 (Nilai Maksimum suatu fungsi kuadratik)

Diberi bahawa y = 3x (4 – x), hitungkan

(a) nilai x apabila y adalah maksimum,

(b) nilai maksimum y.

Penyelesaian:

y = 3x (4 – x)

y = 12x – 3x²

\begin{array}{l} \frac{d y}{d x} = 12 - 6 x \\ Apabila y ialah maksimum, \frac{d y}{d x} = 0 \end{array}

0 = 12 – 6x

x = 2

y = 12x – 3x²

apabila x = 2,

y = 12 (2) – 3 (2)²

y = 12

Contoh 2 (Menentukan titik pusingan dan ujian terbitan kedua)

Cari koordinat titik-titik pusingan bagi lengkung y = 2x³+ 3x²– 12x + 7 dan tentukan jenis titik itu.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} y = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x + 7 \\ \frac{d y}{d x} = 6 x^{2} + 6 x - 12 \\ di titik pusingan, \frac{d y}{d x} = 0 \end{array}

6x² + 6x – 12 = 0

x² + x – 2 = 0

(x – 1) (x + 2) = 0

x = 1 atau x = –2

apabila x = 1

y = 2 (1)³ + 3 (1)² – 12 (11) + 7

y = 0

(1, 0) ialah suatu titik pusingan.

apabila x = –2

y = 2 (–2)³ + 3 (–2)² – 12 (–2) + 7

y = 27

(-2, 27) ialah suatu titik pusingan.

\begin{array}{l} \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 12 x + 6 \\ Apabila x = 1, \\ \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 12 (1) + 6 = 18 > 0 (positif) \\ Oleh itu, titik pusingan (1, 0) adalah titik minimum . \end{array}

\begin{array}{l} Apabila x = - 2, \\ \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 12 (- 2) + 6 = - 18 < 0 (negatif) \\ Oleh itu, titik pusingan (-2, 27) adalah titik maksimum . \end{array}