5.4.2 Janjang, SPM Praktis (Soalan Panjang)

Soalan 3:
Suatu janjang aritmetik mempunyai 16 sebutan. Hasil tambah 16 sebutan itu ialah 188, manakala hasil tambah bagi sebutan-sebutan genap ialah 96. Cari
(a) sebutan pertama dan beza sepunya,
(b) sebutan terakhir.

Penyelesaian:
(a)
Katakan sebutan pertama = a
Beza sepunya = d

$\begin{array}{l}\text{Diberi }{S}_{16}=188\\ \text{Maka, }\frac{16}{2}\left[2a+15d\right]=188\\ 8\left[2a+15d\right]=188\\ 2a+15d=\frac{188}{8}\\ 2a+15d=23.5---\left(1\right)\end{array}$

Diberi hasil tambah sebutan-sebutan genap = 96
$\begin{array}{l}{T}_2+T_4+T_6+\mathrm{\dots ..}+T_{16}=96\\ \left(a+d\right)+\left(a+3d\right)+\left(a+5d\right)+\mathrm{\dots ..}+\left(a+15d\right)=96\\ \frac{8}{2}\left[\left(a+d\right)+\left(a+15d\right)\right]=96\\ 4\left[2a+16d\right]=96\\ 2a+16d=24---\left(2\right)\end{array}$


(2) – (1):
16d – 15d = 24 – 23.5
d = 0.5

Gantikan d = 0.5 ke dalam (2):
2a + 16 (0.5) = 24
2a + 8 = 24
2a = 16
a = 8
Maka, sebutan pertama = 8 dan beza sepunya = 0.5.

(b)
Sebutan terakhir = T₁₆
= 8 + 15 (0.5)
= 8 +7.5
= 15.5

Soalan 4:
Sebutan ketiga dan keenam suatu janjang geometri masing-masing ialah 24 dan $7\frac{1}{9}$ . Cari
(a) Sebutan pertama dan nisbah sepunya,
(b) Hasil tambah lima sebutan pertama,
(c) Hasil tambah n sebutan pertama dengan n yang cukup besar hingga rⁿ ≈ 0.

Penyelesaian:
(a)
$\begin{array}{l}\text{Diberi }{T}_3=24\\ a{r}^2=24\mathrm{\dots \dots \dots ..}\left(1\right)\\ \text{Diberi }{T}_6=7\frac{1}{9}\\ a{r}^5=\frac{64}{9}\mathrm{\dots \dots \dots ..}\left(2\right)\\ \frac{\left(2\right)}{\left(1\right)}:\frac{a{r}^5}{a{r}^2}=\frac{\frac{64}{9}}{24}\\ r^3=\frac{8}{27}\\ r=\frac{2}{3}\end{array}$

$\begin{array}{l}\text{Gantikan }r=\frac{2}{3}\text{ ke dalam }\left(1\right)\\ a{\left(\frac{2}{3}\right)}^2=24\\ a\left(\frac{4}{9}\right)=24\\ a=24\times \frac{9}{4}\\ =54\\ \text{Jadi, sebutan pertama ialah 54 dan}\\ \text{nisbah sepunya ialah }\frac{2}{3}.\end{array}$


(b)
$\begin{array}{l}{S}_5=\frac{54\left[1-{\left(\frac{2}{3}\right)}^5\right]}{1-\frac{2}{3}}\\ =54\times \frac{211}{243}\times \frac{3}{1}\\ =140\frac{2}{3}\\ \\ \text{Jadi, hasil tambah lima sebutan pertama }\\ \text{ialah }140\frac{2}{3}.\end{array}$

(c)
$\begin{array}{l}\text{Apabila }-1<r<1\text{ dan }n\text{ menjadi }\\ \text{cukup besar sehingga }{r}^n\approx 0,\\ \text{maka }{S}_n=\frac{a}{1-r}\\ =\frac{54}{1-\frac{2}{3}}\\ =162\end{array}$

Jadi, hasil tambah n sebutan pertama dengan n yang cukup besar sehingga rⁿ ≈ 0 ialah 162.