2.10.3 Fungsi Kuadratik, SPM Praktis (Soalan Pendek)

Soalan 5:
Cari nilai minimum bagi fungsi f (x) = 2x² + 6x + 5. Nyatakan nilai x yang menjadikan f (x) satu nilai minimum.

Penyelesaian:
Menyempurnakan kuasa dua bagi f (x) dalam bentuk f (x) = a (x + p)² + q untuk mencari nilai minimum bagi fungsi f (x).

$\begin{array}{l}f\left(x\right)=2x^2+6x+5\\ =2\left[x^2+3x+\frac{5}{2}\right]\\ =2\left[x^2+3x+{\left(3\times \frac{1}{2}\right)}^2-{\left(3\times \frac{1}{2}\right)}^2+\frac{5}{2}\right]\end{array}$
$\begin{array}{l}=2\left[{\left(x+\frac{3}{2}\right)}^2-\frac{9}{4}+\frac{5}{2}\right]\\ =2\left[{\left(x+\frac{3}{2}\right)}^2+\frac{1}{4}\right]\\ =2{\left(x+\frac{3}{2}\right)}^2+\frac{1}{2}\end{array}$

Didapati a = 2 > 0, maka f (x) mempunyai nilai minimum apabila $x=-\frac{3}{2}.$ Nilai minimum bagi
f (x) = ½.

Soalan 6:
Fungsi kuadratik f (x) = –x² + 4x + k² , dengan keadaan k ialah pemalar, mempunyai nilai maksimum 8.
Cari nilai-nilai yang mungkin bagi k.

Penyelesaian: :
f (x) = –x² + 4x + k²
f (x) = –(x² – 4x) + k² ← [cara menyempurnakan kuasa dua bagi f (x) dalam bentuk f (x) = a (x + p)² + q]
f (x) = –[x² – 4x + (–2)² – (–2)² ] + k²
f (x) = –[(x – 2)² – 4] + k²
f (x) = –(x – 2)² + 4 + k²

Diberi nilai maksimum ialah 8.
Maka, 4 + k² = 8
  k² = 4
  k = ±2

Soalan 7:
Garis lurus y = 5x – 1 tidak bersilang dengan lengkung y = 2x² + x + h. Carikan julat nilai h.

Penyelesaian:
$\begin{array}{l}y=5x-1\mathrm{\dots \dots }\text{ (1)}\\ y=2x^2+x+h\mathrm{\dots \dots }\text{ (2)}\\ \text{Gantikan (1) ke dalam (2),}\\ 5x-1=2x^2+x+h\\ 2x^2+x+h-5x+1=0\\ 2x^2-4x+h+1=0\\ \\ b^2-4ac<0\\ {\left(-4\right)}^2-4\left(2\right)\left(h+1\right)<0\\ 16-8h-8<0\\ 8<8h\\ h>1\end{array}$

Soalan 8:
Cari nilai maksimum bagi fungsi 5 – x – 2x² , dan nilai x apabila ini berlaku.

Penyelesaian:
$\begin{array}{l}5-x-2x^2\\ =-2x^2-x+5\\ =-2\left[x^2+\frac{1}{2}x-\frac{5}{2}\right]\\ =-2\left[x^2+\frac{1}{2}x+{\left(\frac{1}{4}\right)}^2-{\left(\frac{1}{4}\right)}^2-\frac{5}{2}\right]\\ =-2\left[{\left(x+\frac{1}{4}\right)}^2-\frac{1}{16}-\frac{5}{2}\right]\\ =-2\left[{\left(x+\frac{1}{4}\right)}^2-\frac{41}{16}\right]\\ =-2{\left(x+\frac{1}{4}\right)}^2+5\frac{1}{8}\end{array}$

$\begin{array}{l}\text{Nilai }5-x-2x^2\text{ adalah maksimum apabila}\\ 2{\left(x+\frac{1}{4}\right)}^2=0\\ x=-\frac{1}{4}\\ \text{Nilai maksimum bagi }5-x-2x^2\text{ ialah }5\frac{1}{8}.\end{array}$