Matematik Tambahan SPM 2019, Kertas 2 (Soalan 4)

Soalan 4:
Rajah 2 menunjukkan lengkung y = 4x – x² dan tangen kepada lengkung pada titik Q melalui titik P.

Rajah 2

(a) Tunjukkan bahawa h = 3. [4 markah]
(b) Hitung luas rantau berlorek. [4 markah]

Penyelesaian:
(a)

\begin{array}{l} y = 4 x - x^{2} \\ \frac{d y}{d x} = 4 - 2 x \\ Pada titik Q (h, 4 h - h^{2}) \\ \frac{d y}{d x} = 4 - 2 h \\ Persamaan tangen pada Q \\ y - y_{1} = \frac{d y}{d x} (x - x_{1}) \\ y - (4 h - h^{2}) = (4 - 2 h) (x - h) \end{array}

\begin{array}{l} Pada titik P (2, 5), x = 2, y = 5 \\ 5 - 4 h + h^{2} = (4 - 2 h) (2 - h) \\ 5 - 4 h + h^{2} = 8 - 4 h - 4 h + 2 h^{2} \\ h^{2} - 4 h + 3 = 0 \\ (h - 1) (h - 3) = 0 \\ h = 1 (ditolak), \\ h = 3 \end{array}

(b)

\begin{array}{l} Luas rantau berlorek \\ = Luas trapezium - Luas rantau yang dibatasi oleh lengkung \\ = \frac{1}{2} (a + b) h - \int_{2}^{3} y d x \\ = \frac{1}{2} (5 + 3) 1 - \int_{2}^{3} 4 x - x^{2} d x \\ = 4 - {[\frac{4 x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{3}]}_{2}^{3} \\ = 4 - [18 - 9 - (8 - \frac{8}{3})] \\ = 4 - 9 + (8 - \frac{8}{3}) \\ = \frac{1}{3} {unit}^{2} \end{array}