Soalan 21 (SPM 2019):
Diberi bahawa persamaan kuadratik (px)2 + 5qx + 4 = 0 mempunyai dua punca yang sama manakala persamaan kuadratik hx2 – x + p = 0 tiada punca, dengan keadaan p, q dan h ialah pemalar.
Ungkapkan julat q dalam sebutan h.
[3 markah]
Penyelesaian:
$$ \begin{aligned} & (p x)^2+5 q x+4=0 \\ & p^2 x^2+5 q x+4=0 \\ & a=p^2, b=5 q, c=4 \\ & b^2-4 a c=0 \\ & (5 q)^2-4\left(p^2\right)(4)=0 \\ & 25 q^2-16 p^2=0 \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} & h x^2-x+p=0 \\ & a=h, b=-1, c=p \\ & b^2-4 a c<0 \\ & (-1)^2-4(h)(p)<0 \\ & 1-4 h p<0 \\ & 4 h p>1 \\ & p>\frac{1}{4 h} \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} &\begin{aligned} & \text { Dari (1): } 16 p^2=25 q^2 \\ & p^2=\frac{25}{16} q^2 \\ & p= \pm \frac{5}{4} q \end{aligned}\\ &\text { Gantikan (3) ke dalam (2) : } end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} & -\frac{5}{4} q>\frac{1}{4 h} \\ & q<-\frac{1}{5 h} \end{aligned} $$
ATAU $$ \begin{aligned} & \frac{5}{4} q>\frac{1}{4 h} \\ & q>\frac{1}{5 h} \end{aligned} $$
Diberi bahawa persamaan kuadratik (px)2 + 5qx + 4 = 0 mempunyai dua punca yang sama manakala persamaan kuadratik hx2 – x + p = 0 tiada punca, dengan keadaan p, q dan h ialah pemalar.
Ungkapkan julat q dalam sebutan h.
[3 markah]
Penyelesaian:
$$ \begin{aligned} & (p x)^2+5 q x+4=0 \\ & p^2 x^2+5 q x+4=0 \\ & a=p^2, b=5 q, c=4 \\ & b^2-4 a c=0 \\ & (5 q)^2-4\left(p^2\right)(4)=0 \\ & 25 q^2-16 p^2=0 \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} & h x^2-x+p=0 \\ & a=h, b=-1, c=p \\ & b^2-4 a c<0 \\ & (-1)^2-4(h)(p)<0 \\ & 1-4 h p<0 \\ & 4 h p>1 \\ & p>\frac{1}{4 h} \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} &\begin{aligned} & \text { Dari (1): } 16 p^2=25 q^2 \\ & p^2=\frac{25}{16} q^2 \\ & p= \pm \frac{5}{4} q \end{aligned}\\ &\text { Gantikan (3) ke dalam (2) : } end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} & -\frac{5}{4} q>\frac{1}{4 h} \\ & q<-\frac{1}{5 h} \end{aligned} $$
ATAU $$ \begin{aligned} & \frac{5}{4} q>\frac{1}{4 h} \\ & q>\frac{1}{5 h} \end{aligned} $$