Matematik Tambahan SPM 2018, Kertas 2 (Soalan 10)

Soalan 10 (10 markah):
Rajah 7 menunjukkan garis lurus 4y = x – 2 menyentuh lengkung x = y² + 6 pada titik P.

Rajah 7

Cari
(a) koordinat P,
(b) luas kawasan berlorek,
(c) isi padu kisaran, dalam sebutan π, apabila rantau yang dibatasi oleh lengkung dan garis lurus x = 8 dikisarkan melalui 180^o pada paksi-x.

 

Penyelesaian:
(a)

$\begin{array}{l}4y=x-\mathrm{2\dots \dots \dots }(1)\\ x=y^2+\mathrm{6\dots \dots \dots }(2)\\ \\ \text{Gantikan (2) ke dalam (1):}\\ 4y=\left(y^2+6\right)-2\\ y^2-4y+4=0\\ \left(y-2\right)\left(y-2\right)=0\\ y-2=0\\ y=2\\ \\ \text{Gantikan }y=2\text{ ke dalam (2):}\\ x={\left(2\right)}^2+6\\ x=10\\ \text{Oleh itu, }P=\left(10,2\right).\end{array}$

 

(b)

$\begin{array}{l}\text{Pada paksi-x, }y=0\\ \therefore 4y=x-2\\ 0=x-2\\ x=2\\ \\ \text{Luas kawasan berlorek}\\ \text{= Luas segi tiga}-\text{Luas rantau yang dibatasi oleh lengkung}\\ =\frac{1}{2}\left(10-2\right)\left(2\right)-{\displaystyle {\int }_6^{10}ydx}\\ =8-{\displaystyle {\int }_6^{10}\sqrt{x-6}dx}\leftarrow \boxed{\begin{array}{l}x=y^2+6\\ y=\sqrt{x-6}\end{array}}\\ =8-{\displaystyle {\int }_6^{10}{\left(x-6\right)}^{\frac{1}{2}}dx}\\ =8-{\left[\frac{{\left(x-6\right)}^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}\right]}_6^{10}\\ =8-{\left[\frac{2{\left(x-6\right)}^{\frac{3}{2}}}{3}\right]}_6^{10}\\ =8-\left[\frac{2{\left(10-6\right)}^{\frac{3}{2}}}{3}-\frac{2{\left(6-6\right)}^{\frac{3}{2}}}{3}\right]\\ =8-\frac{16}{3}\\ =\frac{8}{3}{\text{ unit}}^2\end{array}$

 

(c)

$\begin{array}{l}\text{Isipadu kisaran}\\ =\pi {\displaystyle {\int }_6^8{y}^{2}dx}\\ =\pi {\displaystyle {\int }_6^8\left(x-6\right)dx}\leftarrow \boxed{\begin{array}{l}x=y^2+6\\ y^2=x-6\end{array}}\\ =\pi {\left[\frac{x^2}{2}-6x\right]}_6^8\\ =\pi \left[\left(32-48\right)-\left(18-36\right)\right]\\ =2\pi {\text{ unit}}^3\end{array}$