2.11.1 Fungsi Kuadratik, SPM Praktis (Kertas 2 Soalan 1 – 5)


Soalan 1:
(a)  Cari nilai-nilai k supaya persamaan (1 – k) x2– 2(k + 5)x + k + 4 = 0 mempunyai punca yang sama. Seterusnya, cari punca persamaan itu berdasarkan nilai-nilai k yang diperoleh.
(b)  Diberi lengkung y = 5 + 4x – x2 mempunyai persamaan tangen dalam bentuk y = px + 9. Hitung nilai-nilai p yang mungkin.

Penyelesaian:
(a)
Bagi punca-punca yang sama,
b2 – 4ac = 0
[–2(k + 5)] 2 – 4(1 – k)( k + 4) = 0
4(k + 5) 2 – 4(1 – k)( k + 4) = 0
4(k2 + 10k + 25) – 4(4 – 3k – k2) = 0
4k2 + 40k + 100 – 16 + 12k + 4k2= 0
8k2 + 52k + 84 = 0
2k2 + 13k + 21 = 0
(2k + 7) (k + 3) = 0
k = − 7 2 , − 3

Jika k = − 7 2 , persamaan ialah
( 1 + 7 2 ) x 2 − 2 ( − 7 2 + 5 ) x − 7 2 + 4 = 0 9 2 x 2 − 3 x + 1 2 = 0  

9x2 – 6x + 1 = 0
(3x – 1) (3x – 1) = 0
x = ⅓

Jika k = –3, persamaan ialah
(1 + 3)x 2 – 2(–3 + 5)x – 3 + 4 = 0
4x2 – 4x + 1 = 0
(2x – 1) (2x – 1) = 0
x = ½


(b)
y = 5 + 4x – x2 ----- (1)
y = px + 9 ---------- (2)
(1)  = (2), 5 + 4x – x2= px + 9
x2 + px – 4x + 9 – 5 = 0
x2 + (p – 4)x + 4 = 0

Persamaan tangen mempunyai hanya satu titik persilangan, puncanya adalah sama.
b2 – 4ac = 0
(p – 4)2 – 4(1)(4) = 0
p2 – 8p + 16 – 16 = 0
p2 – 8p = 0
p (p – 8) = 0
Maka, p = 0 dan p = 8.


Soalan 2:
Diberi α dan β ialah punca-punca bagi persamaan kuadratik (2x + 5)(x + 1) + p = 0 dengan keadaan αβ = 3 dan p ialah pemalar. Cari nilai p, α dan β.

Penyelesaian:
(2x + 5)(x + 1) + p = 0
2x2 + 2x + 5x + 5 + p = 0
2x2 + 7x + 5 + p = 0
*Bandingkan dengan, x2 – (hasil tambah dua punca)x + hasil darab dua punca = 0

x 2 + 7 2 x + 5 + p 2 = 0 ← bahagi kedua-dua belah dengan 2  
Hasil darab dua punca, αβ = 3
5 + p 2 = 3
5 + p = 6
p = 1

Hasil tambah dua punca = − 7 2  
  α+β=− 7 2  → (1) dan αβ=3  → (2) daripada (2), β= 3 α   → (3) Gantikan (3) ke dalam (1), α+ 3 α =− 7 2  


2α2+ 6 = –7α ← (darab kedua-dua belah dengan 2α)
2α2+ 7α + 6 = 0
(2α + 3)(α + 2) = 0
2α + 3 = 0   atau α + 2 = 0
α = − 3 2
α = –2

Gantikan α=− 3 2  dalam (3), β= 3 − 3 2 =3( − 2 3 )=−2  

Gantikan α = –2 dalam (3),

β=− 3 2 Oleh itu, p=1, dan apabila α=− 3 2 ,β=−2 dan α=−2,β=− 3 2 .  



Soalan 3:
Jika α dan β ialah punca-punca persamaan kuadratik 3x2 + 2x– 5 = 0, bentukkan persamaan kuadratik yang mempunyai punca-punca yang berikut.
(a)  2 α  dan  2 β (b) ( α+ 2 β ) dan ( β+ 2 α )  

Penyelesaian:
3x2 + 2x – 5 = 0
a = 3, b = 2, c = –5
Punca adalah α dan β.
α + β = − b a = − 2 3 α β = c a = − 5 3  

(a)
Punca-punca yang baru ialah 2 α dan 2 β . Hasil tambah punca-punca baru = 2 α + 2 β = 2β+2α αβ = 2( α+β ) αβ = 2( − 2 3 ) − 5 3 = 4 5  


Hasil darab punca-punca = ( 2 α ) ( 2 β ) = 4 α β = 4 − 5 3 = − 12 5

Guna rumus, x2– (hasil tambah punca)x + hasil darab punca = 0
Persamaan kuadratik yang baru ialah
x 2 − ( 4 5 ) x + ( − 12 5 ) = 0
5x2 – 4x – 12 = 0


(b)
Punca-punca yang baru ialah ( α + 2 β ) dan ( β + 2 α ) . Hasil tambah punca-punca baru = ( α + 2 β ) + ( β + 2 α )  
= α + β + ( 2 α + 2 β ) = α + β + 2 α + 2 β α β = α + β + 2 ( α + β ) α β = 4 5 + 2 ( 4 5 ) − 12 5 = 4 5 − 2 3 = 2 15


Hasil darab punca-punca = ( α + 2 β ) ( β + 2 α ) = α β + 2 + 2 + 4 α β
= − 12 5 + 4 + 4 − 12 5 = − 12 5 + 4 − 5 3 = − 1 15  
 

Persamaan kuadratik yang baru ialah
x 2 − ( 2 15 ) x + ( − 1 15 ) = 0
15x2 – 2x– 1 = 0


Soalan 4:
Diberi α dan β adalah punca-punca persamaan kuadratik x (x – 3) = 2k – 4, dengan keadaan k ialah pemalar.
 (a) Cari julat nilai jika α≠β. (b) Diberi  α 2  dan  β 2  adalah punca-punca bagi satu lagi persamaan kuadratik  2 x 2 +tx−4=0, dengan keadaan t ialah pemalar, cari nilai t dan nilai k.

Penyelesaian:
(a) x( x−3 )=2k−4 x 2 −3x+4−2k=0 a=1, b=−3, c=4−2k     b 2 −4ac>0 ( −3 ) 2 −4( 1 )( 4−2k )>0    9−16+8k>0 8k>7   k> 7 8


(b) Dari persamaan  x 2 −3x+4−2k=0, α+β=− b a  =− −3 1  =3.............( 1 ) αβ= c a = 4−2k 1 =4−2k.............( 2 ) Dari persamaan 2 x 2 +tx−4=0, α 2 + β 2 =− t 2 α+β=−t.............( 3 ) α 2 × β 2 =− 4 2 αβ=−8.............( 4 ) Gantikan (1)=(3), 3=−t t=−3 Gantikan (2)=(4), 4−2k=−8 4+8=2k k=6


Soalan 5 :
Diberi 3t dan (t – 7) ialah punca-punca persamaan kuadratik 4x2 – 4x + m= 0 dengan m sebagai pemalar.
(a)  Cari nilai t dan nilai m.
(b)  Seterusnya, bentuk satu persamaan kuadratik dengan punca-punca 4t dan 2t + 6.

Penyelesaian:
(a)
Diberi 3t dan (t – 7) ialah punca-punca persamaan kuadratik 4x2 – 4x + m= 0
a = 4, b = – 4, c = m
Hasil tambah punca = − b a 3 t + ( t − 7 ) = − − 4 4
3t + t– 7 = 1
4t = 8
t = 2


Hasil darab punca = c a 3 t ( t − 7 ) = m 4  
4 [3(2) (2 – 7)] = m ← (gantikan t = 2)
4 [3(2) (2 – 7)] = m
4 (–30) = m
m = –120


(b)
t = 2
4t = 4(2) = 8
2t + 6 = 2(2) + 6 = 10

Hasil tambah punca = 8 + 10 = 18
Hasil darab punca = 8(10) = 80

Guna rumus, x2– (hasil tambah punca)x + hasil darab punca = 0
Oleh itu, persamaan kuadratik ialah
x2 – 18x + 80 = 0

Leave a Comment