5.4.3 Taburan Kebarangkalian, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 8:
(a) Satu tinjauan dijalankan berkenaan kelab bulan sabit merah di sebuah sekolah.
Didapati bahawa min bilangan ahli kelab bulan sabit merah ialah 315, varians ialah 126 dan kebarangkalian seorang murid menyertai kelab bulan sabit merah ialah p.
(i) Cari nilai p.
(ii) Jika 8 orang murid dari sekolah itu dipilih secara rawak, cari kebarangkalian lebih daripada 5 orang murid menyertai kelab bulan sabit merah.

(b) Jisim baja yang digunakan di sebuah dusun buah-buahan mempunyai taburan normal dengan min 5 kg dan varians 0.8 kg. Cari kebarangkalian dalam satu hari tertentu, lebih daripada 6 kg baja digunakan.


Penyelesaian:
$\begin{array}{l}\text{(a)(i)}\\ np=315\\ np\left(1-p\right)=126\\ 315\left(1-p\right)=126\\ 1-p=\frac{126}{315}\\ 1-p=0.4\\ p=0.6\\ \\ \left(ii\right)\\ n=8,p=0.6\\ P(X=r)={}^{n}c{}_r.p^r.q^{n-r}\\ P(X=r)={}^{8}C{}_r{\left(0.6\right)}^r{\left(0.4\right)}^8\\ \\ P(X>5)\\ =P\left(X=6\right)+P\left(X=7\right)+P\left(X=8\right)\\ ={}^{8}C{}_6{\left(0.6\right)}^6{\left(0.4\right)}^2+{}^{8}C{}_7{\left(0.6\right)}^7{\left(0.4\right)}^1+{}^{8}C{}_8{\left(0.6\right)}^8{\left(0.4\right)}^0\\ =0.20902+0.08958+0.01680\\ =0.3154\end{array}$

$\begin{array}{l}\text{(b)}\\ P\left(X>6\right)=P\left(Z>\frac{6-5}{\sqrt{0.8}}\right)\\ =P\left(Z>1.12\right)\\ =0.1314\end{array}$

Soalan 9:
(a) 30% daripada pen di dalam sebuah kotak berwarna biru. Charlie memilih 4 batang pen secara rawak. Cari kebarangkalian sekurang-kurangnya satu batang pen yang dipilih tidak berwarna biru.

(b) Jisim betik yang dituai dari sebuah ladang buah-buahan adalah mengikut taburan normal dengan min 2 kg dan sisihan piawai h kg. Diberi bahawa 15.87% daripada betik itu mempunyai jisim lebih daripada 2.5 kg.
(i) Hitung nilai h.
(ii) Diberi bilangan betik yang dituai dari lading buah-buahan itu ialah 1320, cari bilangan betik yang mempunyai jisim antara 1.0 kg hingga 2.5 kg.


Penyelesaian:
$\begin{array}{l}\text{(a)}\\ P\left(X\ge 1\right)=1-P\left(X=0\right)\\ =1-{}^{4}C{}_4{\left(0.3\right)}^4{\left(0.7\right)}^0\\ =0.9919\end{array}$

$\begin{array}{l}\text{(b) }\mu =2,\sigma =h\\ \left(i\right)\\ P\left(X>2.5\right)=15.87\%\\ P\left(Z>\frac{2.5-2}{h}\right)=0.1587\\ P\left(Z>1.0\right)=0.1587\\ \frac{2.5-2}{h}=1.0\\ h=0.5\end{array}$



$\begin{array}{l}\left(ii\right)\\ p=P\left(1.0<x<2.5\right)\\ =P\left(\frac{1.0-2}{0.5}<Z<\frac{2.5-2}{0.5}\right)\\ =P\left(-2<Z<1\right)\\ =1-P\left(Z<-2\right)-P\left(Z>1\right)\\ =1-P\left(Z>2\right)-P\left(Z>1\right)\\ =1-0.0228-0.1587\\ =0.8185\\ \\ \text{Bilangan betik}=0.8185\times 1320\\ =1080\end{array}$

Soalan 10:
(a) Didapati bahawa 60% murid dari sebuah kelas tertentu mendapat gred A bagi Bahasa Inggeris dalam peperiksaan percubaan O level.
Jika 10 orang murid dari kelas itu dipilih secara rawak, cari kebarangkalian bahawa
(i) tepat 7orang murid mendapat gred A.
(ii) tidak lebih daripada 7 orang murid mendapat gred A.

(b) Rajah di bawah menunjukkan satu graf taburan normal piawai yang mewakili isi padu kicap dalam botol yang dihasilkan oleh sebuah kilang.

Diberi bahawa min ialah 950 cm³ dan  variansnya ialah 256 cm⁶. Jika peratus isi padu yang melebihi V ialah 30.5%, cari
(i) nilai V,
(ii) kebarangkalian bahawa isi padu antara 930 cm³ dan 960 cm³.

Penyelesaian:

$\begin{array}{l}\text{(a)(i)}\\ P(X=r)={}^{n}c{}_r.p^r.q^{n-r}\\ P(X=7)={}^{10}C{}_7{\left(0.6\right)}^7{\left(0.4\right)}^3\\ =0.0860\\ \\ \left(ii\right)\\ P(X\le 7)\\ =1-P(X>7)\\ =1-P\left(X=8\right)-P\left(X=9\right)-P\left(X=10\right)\\ =1-{}^{10}C{}_8{\left(0.6\right)}^8{\left(0.4\right)}^2-{}^{10}C{}_9{\left(0.6\right)}^9{\left(0.4\right)}^1-{}^{10}C{}_{10}{\left(0.6\right)}^{10}{\left(0.4\right)}^0\\ =1-0.1209-0.0403-0.0060\\ =0.8328\end{array}$


$\begin{array}{l}\text{(b)}\left(i\right)\\ P\left(X>V\right)=30.5\%\\ P\left(Z>\frac{V-950}{16}\right)=0.305\\ P\left(Z>0.51\right)=0.305\\ \frac{V-950}{16}=0.51\\ V=0.51\left(16\right)+950\\ =958.16{\text{ cm}}^3\end{array}$

$\begin{array}{l}\left(ii\right)\\ \text{Kebarangkalian}\\ =P\left(930<X<960\right)\\ =P\left(\frac{930-950}{16}<Z<\frac{960-950}{16}\right)\\ =P\left(-1.25<Z<0.625\right)\\ =1-P\left(Z>1.25\right)-P\left(Z>0.625\right)\\ =1-0.1056-0.2660\\ =0.6284\end{array}$