2.11.2 Fungsi Kuadratik, SPM Praktis (Kertas 2 Soalan 6 – 10)


Soalan 7:
Tanpa menggunakan kaedah pembezaan atau melukis graf, cari nilai maksimum atau nilai minimum bagi fungsi y = 2 + 4x – 3x2. Seterusnya, cari persamaan paksi simetri bagi graf fungsi itu.

Penyelesaian:
Menyempurnakan kuasa dua bagi fungsi y dalam bentuk y = a (x + p)2 + q untuk mencari nilai maksimum atau nilai minimum bagi fungsi y.
y = 2 + 4x – 3x2
y = – 3x2 + 4x + 2 ← (Tulis dalam bentuk am)
y = − 3 [ x 2 − 4 3 x − 2 3 ] y = − 3 [ x 2 − 4 3 x + ( − 4 3 × 1 2 ) 2 − ( − 4 3 × 1 2 ) 2 − 2 3 ] y = − 3 [ ( x − 2 3 ) 2 − ( − 2 3 ) 2 − 2 3 ]

y=−3[ ( x− 2 3 ) 2 − 4 9 − 6 9 ] y=−3[ ( x− 2 3 ) 2 − 10 9 ] y=−3 ( x− 2 3 ) 2 + 10 3 ← Bentuk a (x+p) 2 +q

Didapati a = –3 < 0,
maka fungsi y mempunyai nilai maksimum 10 3 .  
x − 2 3 = 0 x = 2 3
Persamaan paksi simetri bagi graf fungsi itu ialah x = 2 3 .



Soalan 8:


Rajah di atas menunjukkan graf fungsi kuadratik y = f (x). Garis lurus y = –4 ialah tangen kepada lengkung y = f (x).
(a) Tulis persamaan paksi simetri untuk fungsi f (x).
(b) Ungkapakan f (x) dalam bentuk (x + p)2 + q , dengan keadaan p dan q ialah pemalar.
(c) Cari julat nilai x supaya
(i) f (x) < 0,   (ii) f (x) ≥ 0.


Penyelesaian:
(a)
Koordinat-x titik minimum = titik tengah bagi (–2, 0) dan (6, 0)
= − 2 + 6 2 = 2  
Maka, persamaan paksi simetri untuk fungsi f (x) ialah x = 2.

(b)
Gantikan x = 2 dalam x + p = 0,
2 + p = 0
p = –2
dan q = –4 (nilai f (x) yang paling kecil)
Maka, f (x) = (x + p)2 + q
f (x) = (x – 2)2 – 4

(c)(i) Daripada graf, bagi f (x) < 0, julat nilai x ialah –2 < x < 6 ← (bahagian graf di bawah paksi-x).

(c)(ii) Daripada graf, bagi f (x) ≥ 0, julat nilai x ialah x ≤ –2 atau x ≥ 6 ← (bahagian graf di atas paksi-x).



Soalan 9:
Diberi fungsi kuadratik f(x) = 2x2 – px + p mempunyai nilai minimum –18 pada nilai x = 1.
  1. Cari nilai p dan nilai q.
  2. Dengan nilai p dan nilai q yang diperoleh, cari nilai-nilai x di mana graf f(x), memotong paksi-x.
  3. Seterusnya, lakarkan graf bagi f(x).

Penyelesaian:
(a)
f( x )=2 x 2 −px+q =2[ x 2 − p 2 x+ q 2 ] =2[ ( x+ −p 4 ) 2 − ( −p 4 ) 2 + q 2 ] =2[ ( x− p 4 ) 2 − p 2 16 + q 2 ] =2 ( x− p 4 ) 2 − p 2 2 +q

Maka, p 4 =1−−−−−−( 1 ) dan − p 2 8 +q=−18−−−( 2 ) Dari( 1 ),p=4. Ganti p=4 ke dalam ( 2 ): − ( 4 ) 2 8 +q=−18   − 16 8 +q=−18  q=−18+2    =−16


(b)
f( x )=2 x 2 −4x−16 Memotong paksi-x,f( x )=0. 2 x 2 −4x−16=0 x 2 −2x−8=0 ( x−4 )( x+2 )=0 x=4,−2 Graf f( x ) memotong paksi-x di x=−2 dan x=4.

(c)


Soalan 10:
  1. Cari julat nilai k supaya persamaan x2 – kx + 3k – 5 = 0 tidak mempunyai punca.
  2. Buktikan bahawa punca-punca persamaan kuadratik hx2 – (h + 3)x + 1 = 0 adalah nyata dan berbeza untuk semua nilai h.

Penyelesaian:
(a)
x 2 −kx+( 3k−5 )=0 Jika persamaan di atas tidak mempunyai punca, maka  b 2 −4ac<0. k 2 −4( 3k−5 )<0 k 2 −12k+20<0 ( k−2 )( k−10 )<0

Graf fungsi y = (k – 2)(k – 10) memotong paksi ufuk di k = 2 dan k = 10.
Graf melekung ke bawah untuk b2 – 4ac < 0.


Julat nilai k yang memuaskan ketaksamaan di atas ialah 2 < k < 10.

(b)
h x 2 −( h+3 )x+1=0 b 2 −4ac= ( h+3 ) 2 −4( h )( 1 ) = h 2 +6h+9−4h = h 2 +2h+9 = ( h+ 2 2 ) 2 − ( 2 2 ) 2 +9 = ( h+1 ) 2 −1+9 = ( h+1 ) 2 +8

Nilai minimum bagi (h + 1) + 8 ialah 8, satu nilai positif. Oleh itu, b2 – 4ac > 0 untuk semua nilai h.
Maka, punca-punca persamaan kuadratik hx2 – (h + 3)x + 1 = 0 adalah nyata dan berbeza untuk semua nilai h.

Leave a Comment