Soalan 4:
(a) Rajah 2 menunjukkan graf bagi y = tanx + c untuk 0 ⩽ x ⩽ p, dengan keadaan c dan p adalah pemalar.
Nyatakan nilai c dan nilai p. [2 markah]
Penyelesaian:
(a)
$$ \begin{aligned} & y=\tan x+c \\ & c=-1, \quad \text { graf gerak } 1 \text { unit ke bawah } \\ & \text { Pada }(p,-2) \\ & -2=\tan p-1 \\ & \tan p=-1 \text { (sukuan II dan IV) } \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} \text { Sudut rujukan } & =\tan ^{-1}(1) \\ & =45^{\circ} \\ \therefore p & =360^{\circ}-45^{\circ} \\ p & =315^{\circ} \times \frac{\pi}{180^{\circ}} \\ p & =\frac{7 \pi}{4}(\text { sukuan } I V) \end{aligned} $$
(b)(i)
$$ \begin{aligned} & 2 \text { kos } x=-1 ; \pi \leqslant x \leqslant 3 \pi \\ & \begin{aligned} \text { kos } x=-\frac{1}{2}(\text { sukuan II dan III }) \end{aligned} \\ & \begin{aligned} \text { Sudut rujukan } & =\text { kos }^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) \\ & =60^{\circ} \\ & =\frac{\pi}{3} \end{aligned} \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} & x=\pi-\frac{\pi}{3}, \quad \pi+\frac{\pi}{3}, \quad 3 \pi-\frac{\pi}{3} \\ & x=\frac{2 \pi}{3}, \quad \frac{4 \pi}{3}, \quad \frac{8 \pi}{3} \\ & \therefore x=\frac{4 \pi}{3}, \quad \frac{8 \pi}{3} \end{aligned} $$
(b)(ii)
$$ \begin{aligned} & y=2 \operatorname{kos} x \text { untuk } 0 \leqslant x \leqslant 2 \pi \\ & \operatorname{kos} x<-\frac{1}{2} \\ & 2 \operatorname{kos} x<-1 \\ & \qquad y<-1 \end{aligned} $$
(a) Rajah 2 menunjukkan graf bagi y = tanx + c untuk 0 ⩽ x ⩽ p, dengan keadaan c dan p adalah pemalar.
Nyatakan nilai c dan nilai p. [2 markah]
(b) Untuk soalan-soalan berikut, beri jawapan anda dalam bentuk pecahan termudah dalam sebutan π radian.
(i) Selesaikan persamaan 2 kosx = -1 untuk π ⩽ x ⩽ 3π.
(ii) Lakarkan graf bagi y = 2 kos x untuk 0 ⩽ x ⩽ 2π. Dengan melukis satu garis lurus yang sesuai pada lakaran anda, cari julat nilai x yang mana kos x < -1/2 untuk 0 ⩽ x ⩽ 2π.
[6 markah]
Penyelesaian:
(a)
$$ \begin{aligned} & y=\tan x+c \\ & c=-1, \quad \text { graf gerak } 1 \text { unit ke bawah } \\ & \text { Pada }(p,-2) \\ & -2=\tan p-1 \\ & \tan p=-1 \text { (sukuan II dan IV) } \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} \text { Sudut rujukan } & =\tan ^{-1}(1) \\ & =45^{\circ} \\ \therefore p & =360^{\circ}-45^{\circ} \\ p & =315^{\circ} \times \frac{\pi}{180^{\circ}} \\ p & =\frac{7 \pi}{4}(\text { sukuan } I V) \end{aligned} $$
(b)(i)
$$ \begin{aligned} & 2 \text { kos } x=-1 ; \pi \leqslant x \leqslant 3 \pi \\ & \begin{aligned} \text { kos } x=-\frac{1}{2}(\text { sukuan II dan III }) \end{aligned} \\ & \begin{aligned} \text { Sudut rujukan } & =\text { kos }^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) \\ & =60^{\circ} \\ & =\frac{\pi}{3} \end{aligned} \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} & x=\pi-\frac{\pi}{3}, \quad \pi+\frac{\pi}{3}, \quad 3 \pi-\frac{\pi}{3} \\ & x=\frac{2 \pi}{3}, \quad \frac{4 \pi}{3}, \quad \frac{8 \pi}{3} \\ & \therefore x=\frac{4 \pi}{3}, \quad \frac{8 \pi}{3} \end{aligned} $$
(b)(ii)
$$ \begin{aligned} & y=2 \operatorname{kos} x \text { untuk } 0 \leqslant x \leqslant 2 \pi \\ & \operatorname{kos} x<-\frac{1}{2} \\ & 2 \operatorname{kos} x<-1 \\ & \qquad y<-1 \end{aligned} $$
Daripada jalan kerja di (b)(i) , 2 kos x = -1, julat nilai x untuk 0 ⩽ x ⩽ 2π ialah 2π/3 ⩽ x ⩽ 4π/3.