Soalan 11:
Rajah 7 menunjukkan segi tiga ABC.
$$ \text { Diberi bahawa } B C=(2+x) \mathrm{cm}, A D^2=1+\sqrt{2} \text { dan } A B D \text { ialah garis lurus. } $$
$$ \text { Tunjukkan bahawa } x=\frac{1+5 \sqrt{2}}{49} \mathrm{~cm} \text {. } $$
[5 markah]
Penyelesaian:
$$ \begin{aligned} B D & =\sqrt{(2+x)^2-(2-x)^2} \\ & =\sqrt{8 x} \end{aligned} $$
$$ \sqrt{x}+\sqrt{8 x}=\sqrt{1+\sqrt{2}} $$
$$ \begin{aligned} &\text { Kuasa dua kedua-dua bahagian, }\\ &\begin{aligned} (\sqrt{8 x}+\sqrt{x})^2 & =(\sqrt{1+\sqrt{2}})^2 \\ 9 x+2 x \sqrt{8} & =1+\sqrt{2} \\ x(9+2 \sqrt{8}) & =1+\sqrt{2} \\ x & =\frac{1+\sqrt{2}}{9+2 \sqrt{8}} \times \frac{9-2 \sqrt{8}}{9-2 \sqrt{8}} \\ & =\frac{9+5 \sqrt{2}-8}{(9)^2-(2 \sqrt{8})^2} \\ & =\frac{1+5 \sqrt{2}}{(9)^2-(2 \sqrt{8})^2} \\ & =\frac{1+5 \sqrt{2}}{49} \end{aligned} \end{aligned} $$
Rajah 7 menunjukkan segi tiga ABC.
$$ \text { Diberi bahawa } B C=(2+x) \mathrm{cm}, A D^2=1+\sqrt{2} \text { dan } A B D \text { ialah garis lurus. } $$
$$ \text { Tunjukkan bahawa } x=\frac{1+5 \sqrt{2}}{49} \mathrm{~cm} \text {. } $$
[5 markah]
Penyelesaian:
$$ \begin{aligned} B D & =\sqrt{(2+x)^2-(2-x)^2} \\ & =\sqrt{8 x} \end{aligned} $$
$$ \sqrt{x}+\sqrt{8 x}=\sqrt{1+\sqrt{2}} $$
$$ \begin{aligned} &\text { Kuasa dua kedua-dua bahagian, }\\ &\begin{aligned} (\sqrt{8 x}+\sqrt{x})^2 & =(\sqrt{1+\sqrt{2}})^2 \\ 9 x+2 x \sqrt{8} & =1+\sqrt{2} \\ x(9+2 \sqrt{8}) & =1+\sqrt{2} \\ x & =\frac{1+\sqrt{2}}{9+2 \sqrt{8}} \times \frac{9-2 \sqrt{8}}{9-2 \sqrt{8}} \\ & =\frac{9+5 \sqrt{2}-8}{(9)^2-(2 \sqrt{8})^2} \\ & =\frac{1+5 \sqrt{2}}{(9)^2-(2 \sqrt{8})^2} \\ & =\frac{1+5 \sqrt{2}}{49} \end{aligned} \end{aligned} $$
Soalan 12:
Rajah 8 menunjukkan corak berbentuk segi tiga bersudut tegak berwarna ungu pada bentangan segulung kertas berbentuk segi empat tepat.
Diberi bahawa panjang tapak segi tiga pertama ialah a cm dan panjang setiap tapak berikutnya bertambah sebanyak d cm.
(a) Terbitkan bahawa panjang tapak bagi segi tiga ke-n ialah Tn = a + (n – 1)d. [3 markah]
(b) Pada bentangan tersebut, segi tiga berwarna ungu yang ke- 31 merupakan segi tiga terakhir dengan luas 72 cm2 dan diberi bahawa a = 30d.
(i) Cari nilai d, dalam cm.
(ii) Zul ingin mengirim sejumlah gulungan kertas itu kepada rakannya melalui sebuah syarikat kurier.
Jadual 2 menunjukkan maklumat berkaitan caj penghantaran.
Jika Zul mempunyai RM15 dan jisim kertas itu bagi setiap cm2 ialah 4 × 10-5 kg, hitung bilangan maksimum gulungan kertas yang boleh dikirim.
[6 markah]
Penyelesaian:
(a) $$ \begin{aligned} T_1 & =a, \\ T_2 & =a+d, \\ T_3 & =a+d+d \\ & =a+2 d \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} &\begin{aligned} & T_1=a+(1-1) d \\ & T_2=a+(2-1) d \\ & T_3=a+(3-1) d \end{aligned}\\ &\text { Jadi, }\\ &T_n=a+(n-1) d \end{aligned} $$
(b)(i) $$ \begin{aligned} \frac{1}{2} \times 12 \times x & =72 \\ x & =12 \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} T_{31} & =a+(31-1) d \\ & =12 \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} &\text { Diberi, } a=30 d\\ &\begin{aligned} 30 d+(31-1) d & =12 \\ 60 d & =12 \\ d & =\frac{1}{5} \end{aligned} \end{aligned} $$
(b)(ii) $$ \begin{aligned} a & =30\left(\frac{1}{5}\right) \\ & =6 \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} &\text { Jisim segulung kertas }\\ &\begin{aligned} & =S_{31} \times 12 \times 4 \times 10^{-5} \\ & =\frac{31}{2}\left[2(6)+(31-1)\left(\frac{1}{5}\right)\right] \times 12 \times 4 \times 10^{-5} \\ & =0.1339 \mathrm{~kg} \end{aligned} \end{aligned} $$
$$ \text { RM9: } \frac{2.5}{0.1339} \approx 18 \text { gulungan } $$
$$ \text { RM6: RM1.20 setiap } 0.5 \mathrm{~kg} \rightarrow \mathrm{RM} 2.40 \text { setiap } \mathrm{kg} $$
$$ \begin{aligned} & \frac{6}{2.4}=2.5 \mathrm{~kg} \\ & \frac{2.5}{0.1339} \approx 18 \text { gulungan } \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} & 18+18=36 \text { gulungan } \\ & 36 \times 0.1339 \mathrm{~kg}=4.820 \mathrm{~kg} \\ & 5-4.820 \mathrm{~kg}=0.18 \mathrm{~kg} \rightarrow 1 \text { gulung lagi } \end{aligned} $$
$$ \text { Bilangan gulungan maksimum }=36+1=37 $$
Rajah 8 menunjukkan corak berbentuk segi tiga bersudut tegak berwarna ungu pada bentangan segulung kertas berbentuk segi empat tepat.
Diberi bahawa panjang tapak segi tiga pertama ialah a cm dan panjang setiap tapak berikutnya bertambah sebanyak d cm.(a) Terbitkan bahawa panjang tapak bagi segi tiga ke-n ialah Tn = a + (n – 1)d. [3 markah]
(b) Pada bentangan tersebut, segi tiga berwarna ungu yang ke- 31 merupakan segi tiga terakhir dengan luas 72 cm2 dan diberi bahawa a = 30d.
(i) Cari nilai d, dalam cm.
(ii) Zul ingin mengirim sejumlah gulungan kertas itu kepada rakannya melalui sebuah syarikat kurier.
Jadual 2 menunjukkan maklumat berkaitan caj penghantaran.
Jika Zul mempunyai RM15 dan jisim kertas itu bagi setiap cm2 ialah 4 × 10-5 kg, hitung bilangan maksimum gulungan kertas yang boleh dikirim.
[6 markah]
Penyelesaian:
(a) $$ \begin{aligned} T_1 & =a, \\ T_2 & =a+d, \\ T_3 & =a+d+d \\ & =a+2 d \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} &\begin{aligned} & T_1=a+(1-1) d \\ & T_2=a+(2-1) d \\ & T_3=a+(3-1) d \end{aligned}\\ &\text { Jadi, }\\ &T_n=a+(n-1) d \end{aligned} $$
(b)(i) $$ \begin{aligned} \frac{1}{2} \times 12 \times x & =72 \\ x & =12 \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} T_{31} & =a+(31-1) d \\ & =12 \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} &\text { Diberi, } a=30 d\\ &\begin{aligned} 30 d+(31-1) d & =12 \\ 60 d & =12 \\ d & =\frac{1}{5} \end{aligned} \end{aligned} $$
(b)(ii) $$ \begin{aligned} a & =30\left(\frac{1}{5}\right) \\ & =6 \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} &\text { Jisim segulung kertas }\\ &\begin{aligned} & =S_{31} \times 12 \times 4 \times 10^{-5} \\ & =\frac{31}{2}\left[2(6)+(31-1)\left(\frac{1}{5}\right)\right] \times 12 \times 4 \times 10^{-5} \\ & =0.1339 \mathrm{~kg} \end{aligned} \end{aligned} $$
$$ \text { RM9: } \frac{2.5}{0.1339} \approx 18 \text { gulungan } $$
$$ \text { RM6: RM1.20 setiap } 0.5 \mathrm{~kg} \rightarrow \mathrm{RM} 2.40 \text { setiap } \mathrm{kg} $$
$$ \begin{aligned} & \frac{6}{2.4}=2.5 \mathrm{~kg} \\ & \frac{2.5}{0.1339} \approx 18 \text { gulungan } \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} & 18+18=36 \text { gulungan } \\ & 36 \times 0.1339 \mathrm{~kg}=4.820 \mathrm{~kg} \\ & 5-4.820 \mathrm{~kg}=0.18 \mathrm{~kg} \rightarrow 1 \text { gulung lagi } \end{aligned} $$
$$ \text { Bilangan gulungan maksimum }=36+1=37 $$