Soalan 10:
Jadual 1 menunjukkan nilai-nilai bagi dua pemboleh ubah, x dan y, yang diperoleh daripada suatu eksperimen. Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh
$$ \text { persamaan } y+\sqrt{h}=\frac{k^2}{x} \text {, dengan keadaan } h \text { dan } k \text { ialah pemalar. } $$
(a) Plot xy melawan x, menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-x dan 2 cm kepada 0.5 unit pada paksi-xy.
Seterusnya, lukis garis lurus penyuaian terbaik. [4 markah]
(b) Dengan menggunakan graf di 10(a),
(i) $$ \text { cari nilai } x \text { apabila } y^2=\frac{4}{x^2} \text {, } $$
(ii) $$ \text { tulis } y+\sqrt{h}=\frac{k^2}{x} \text { dalam bentuk linear, seterusnya cari nilai } h \text { dan nilai } k \text {. } $$
[6 markah]
Penyelesaian:
(a)
(b)(i) $$ \begin{aligned} y^2 & =\frac{4}{x^2} \\ x^2 y^2 & =4 \\ (x y)^2 & =4 \\ x y & =2 \\ x & =2.65 \end{aligned} $$
(b)(ii) $$ \begin{gathered} y+\sqrt{h}=\frac{k^2}{x} \\ x y+x \sqrt{h}=k^2 \\ x y=(-\sqrt{h}) x+k^2 \\ m=\frac{4-1}{0-4} \\ =-\frac{3}{4} \end{gathered} $$
$$ \begin{aligned} m & =-\sqrt{h} \\ -\sqrt{h} & =-\frac{3}{4} \\ \sqrt{h} & =\frac{3}{4} \\ h & =\frac{9}{16} \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} c & =k^2 \\ k^2 & =4 \\ k & =2 \end{aligned} $$
Jadual 1 menunjukkan nilai-nilai bagi dua pemboleh ubah, x dan y, yang diperoleh daripada suatu eksperimen. Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh
$$ \text { persamaan } y+\sqrt{h}=\frac{k^2}{x} \text {, dengan keadaan } h \text { dan } k \text { ialah pemalar. } $$
(a) Plot xy melawan x, menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-x dan 2 cm kepada 0.5 unit pada paksi-xy.
Seterusnya, lukis garis lurus penyuaian terbaik. [4 markah]
(b) Dengan menggunakan graf di 10(a),
(i) $$ \text { cari nilai } x \text { apabila } y^2=\frac{4}{x^2} \text {, } $$
(ii) $$ \text { tulis } y+\sqrt{h}=\frac{k^2}{x} \text { dalam bentuk linear, seterusnya cari nilai } h \text { dan nilai } k \text {. } $$
[6 markah]
Penyelesaian:
(a)
(b)(i) $$ \begin{aligned} y^2 & =\frac{4}{x^2} \\ x^2 y^2 & =4 \\ (x y)^2 & =4 \\ x y & =2 \\ x & =2.65 \end{aligned} $$
(b)(ii) $$ \begin{gathered} y+\sqrt{h}=\frac{k^2}{x} \\ x y+x \sqrt{h}=k^2 \\ x y=(-\sqrt{h}) x+k^2 \\ m=\frac{4-1}{0-4} \\ =-\frac{3}{4} \end{gathered} $$
$$ \begin{aligned} m & =-\sqrt{h} \\ -\sqrt{h} & =-\frac{3}{4} \\ \sqrt{h} & =\frac{3}{4} \\ h & =\frac{9}{16} \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} c & =k^2 \\ k^2 & =4 \\ k & =2 \end{aligned} $$
Soalan 11:
(a) Sebuah syarikat menghasilkan sejenis kerepek kentang dan dibungkus sebelum dipasarkan. Jisim sebungkus kerepek dalam julat 75 g sehingga 80 g akan diterima untuk dipasarkan, manakala jisim sebungkus kerepek di luar julat itu akan dihantar untuk pembungkusan semula. Jadual 2 menunjukkan jisim sebungkus kerepek dan bilangan bungkusannya dalam nisbah pada suatu masa tertentu.
(i) Cari min bilangan bungkusan kerepek yang dipasarkan jika syarikat itu menghasilkan 5000 bungkus kerepek.
(ii) Jika 6 bungkus kerepek dipilih secara rawak daripada syarikat itu, cari kebarangkalian bahawa tepat 2 bungkus akan dihantar untuk pembungkusan semula.
(iii) Jika seorang pengurus memilih 10 bungkus kerepek secara rawak dari unit pembungkusan semula, cari kebarangkalian bahawa dia akan mendapat lebih daripada 2 bungkus kerepek yang mempunyai jisim di bawah julat.
[6 markah]
(b) Pemboleh ubah rawak X adalah bertabur secara normal dengan X ∼ N (12, 25).
Diberi bahawa P(X > k) = ¼ P(X ≤ k), cari nilai k.
[4 markah]
Penyelesaian:
(a)(i) $$ \begin{aligned} n & =5000, p=\frac{97}{1+97+2}=0.97 \\ \mu & =n p \\ & =(5000)(0.97) \\ & =4850 \end{aligned} $$
(a)(ii) $$ \begin{aligned} & p=0.03, q=0.97, n=6, r=2 \\ & P(X=2)={ }^6 C_2(0.03)^2(0.97)^4 \\ &=0.01195 \end{aligned} $$
(a)(iii) $$ n=10, p=\frac{1}{3}, q=\frac{2}{3}, r>2 $$
$$ \begin{aligned} P(X>2) & =1-P(X \leqslant 2) \\ & =1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2) \\ & =1-{ }^{10} C_0\left(\frac{1}{3}\right)^0\left(\frac{2}{3}\right)^{10}-{ }^{10} C_1\left(\frac{1}{3}\right)^1\left(\frac{2}{3}\right)^9-{ }^{10} C_2\left(\frac{1}{3}\right)^2\left(\frac{2}{3}\right)^8 \\ & =1-0.0173-0.0867-0.1951 \\ & =0.7009 \end{aligned} $$
(b) $$ P(X>k)=\frac{1}{4}[P(X \leqslant k)] $$
$$ \begin{aligned} P(X \leqslant k)+P(X>k) & =1 \\ 4 P(X \leqslant k)+P(X>k) & =1 \\ P(X>k) & =0.2 \\ \frac{k-12}{\sqrt{25}} & =0.842 \\ k & =16.21 \end{aligned} $$
(a) Sebuah syarikat menghasilkan sejenis kerepek kentang dan dibungkus sebelum dipasarkan. Jisim sebungkus kerepek dalam julat 75 g sehingga 80 g akan diterima untuk dipasarkan, manakala jisim sebungkus kerepek di luar julat itu akan dihantar untuk pembungkusan semula. Jadual 2 menunjukkan jisim sebungkus kerepek dan bilangan bungkusannya dalam nisbah pada suatu masa tertentu.
(i) Cari min bilangan bungkusan kerepek yang dipasarkan jika syarikat itu menghasilkan 5000 bungkus kerepek.
(ii) Jika 6 bungkus kerepek dipilih secara rawak daripada syarikat itu, cari kebarangkalian bahawa tepat 2 bungkus akan dihantar untuk pembungkusan semula.
(iii) Jika seorang pengurus memilih 10 bungkus kerepek secara rawak dari unit pembungkusan semula, cari kebarangkalian bahawa dia akan mendapat lebih daripada 2 bungkus kerepek yang mempunyai jisim di bawah julat.
[6 markah]
(b) Pemboleh ubah rawak X adalah bertabur secara normal dengan X ∼ N (12, 25).
Diberi bahawa P(X > k) = ¼ P(X ≤ k), cari nilai k.
[4 markah]
Penyelesaian:
(a)(i) $$ \begin{aligned} n & =5000, p=\frac{97}{1+97+2}=0.97 \\ \mu & =n p \\ & =(5000)(0.97) \\ & =4850 \end{aligned} $$
(a)(ii) $$ \begin{aligned} & p=0.03, q=0.97, n=6, r=2 \\ & P(X=2)={ }^6 C_2(0.03)^2(0.97)^4 \\ &=0.01195 \end{aligned} $$
(a)(iii) $$ n=10, p=\frac{1}{3}, q=\frac{2}{3}, r>2 $$
$$ \begin{aligned} P(X>2) & =1-P(X \leqslant 2) \\ & =1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2) \\ & =1-{ }^{10} C_0\left(\frac{1}{3}\right)^0\left(\frac{2}{3}\right)^{10}-{ }^{10} C_1\left(\frac{1}{3}\right)^1\left(\frac{2}{3}\right)^9-{ }^{10} C_2\left(\frac{1}{3}\right)^2\left(\frac{2}{3}\right)^8 \\ & =1-0.0173-0.0867-0.1951 \\ & =0.7009 \end{aligned} $$
(b) $$ P(X>k)=\frac{1}{4}[P(X \leqslant k)] $$
$$ \begin{aligned} P(X \leqslant k)+P(X>k) & =1 \\ 4 P(X \leqslant k)+P(X>k) & =1 \\ P(X>k) & =0.2 \\ \frac{k-12}{\sqrt{25}} & =0.842 \\ k & =16.21 \end{aligned} $$