Soalan 15:
(a) Diberi bahawa sin x = t, dengan keadaan x ialah sudut tirus, ungkapkan sin 2x dalam sebutan t. [2 markah]
(b) Diberi bahawa kos θ = k untuk 270o < θ <360o, ungkapkan kos θ dalam sebutan k. [2 markah]
(c) Cari nilai tan 22.50o dalam bentuk surd. [4 markah]
Penyelesaian:
(a) sin x = t
kos x = ±√1 – t2
0 < x < 90o
kos x = √1 – t2
sin 2x = 2t√1 – t2
(b) $$ \begin{aligned} &2 \mathrm{kos}^2 \left(\frac{\theta}{2}\right)-1=k\\ &\operatorname{kos} \left(\frac{\theta}{2}\right)= \pm \sqrt{\frac{1+k}{2}}\\ &\begin{aligned} & 270^{\circ}<\theta<360^{\circ} \\ & 135^{\circ}<\frac{\theta}{2}<180^{\circ} \end{aligned} \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} & \operatorname{kos} \left(\frac{\theta}{2}\right)<0 \\ & \operatorname{kos} \left(\frac{\theta}{2}\right)=-\sqrt{\frac{1+k}{2}} \end{aligned} $$
(c) $$ \begin{aligned} &\tan 45^{\circ}=\frac{2 \tan 22.5^{\circ}}{1-\tan ^2 22.5^{\circ}}\\ &\text { Biarkan } \tan 22.5^{\circ}=t \end{aligned} $$
$$ \begin{gathered} 1=\frac{2 t}{1-t^2} \\ 1-t^2=2 t \\ t^2+2 t-1=0 \\ t=\frac{-2 \pm \sqrt{2^2-4(1)(-1)}}{2(1)} \\ =\frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} \end{gathered} $$
$$ t=\frac{-2+\sqrt{8}}{2} \quad \text { dan } \quad t=\frac{-2-\sqrt{8}}{2} $$
$$ \begin{aligned} \tan 22.5^{\circ} & >0 \\ \tan 22.5^{\circ} & =\frac{-2+2 \sqrt{2}}{2} \\ & =\sqrt{2}-1 \end{aligned} $$
(a) Diberi bahawa sin x = t, dengan keadaan x ialah sudut tirus, ungkapkan sin 2x dalam sebutan t. [2 markah]
(b) Diberi bahawa kos θ = k untuk 270o < θ <360o, ungkapkan kos θ dalam sebutan k. [2 markah]
(c) Cari nilai tan 22.50o dalam bentuk surd. [4 markah]
Penyelesaian:
(a) sin x = t
kos x = ±√1 – t2
0 < x < 90o
kos x = √1 – t2
sin 2x = 2t√1 – t2
(b) $$ \begin{aligned} &2 \mathrm{kos}^2 \left(\frac{\theta}{2}\right)-1=k\\ &\operatorname{kos} \left(\frac{\theta}{2}\right)= \pm \sqrt{\frac{1+k}{2}}\\ &\begin{aligned} & 270^{\circ}<\theta<360^{\circ} \\ & 135^{\circ}<\frac{\theta}{2}<180^{\circ} \end{aligned} \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} & \operatorname{kos} \left(\frac{\theta}{2}\right)<0 \\ & \operatorname{kos} \left(\frac{\theta}{2}\right)=-\sqrt{\frac{1+k}{2}} \end{aligned} $$
(c) $$ \begin{aligned} &\tan 45^{\circ}=\frac{2 \tan 22.5^{\circ}}{1-\tan ^2 22.5^{\circ}}\\ &\text { Biarkan } \tan 22.5^{\circ}=t \end{aligned} $$
$$ \begin{gathered} 1=\frac{2 t}{1-t^2} \\ 1-t^2=2 t \\ t^2+2 t-1=0 \\ t=\frac{-2 \pm \sqrt{2^2-4(1)(-1)}}{2(1)} \\ =\frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} \end{gathered} $$
$$ t=\frac{-2+\sqrt{8}}{2} \quad \text { dan } \quad t=\frac{-2-\sqrt{8}}{2} $$
$$ \begin{aligned} \tan 22.5^{\circ} & >0 \\ \tan 22.5^{\circ} & =\frac{-2+2 \sqrt{2}}{2} \\ & =\sqrt{2}-1 \end{aligned} $$