6.6.3 Bentuk Persamaan Kuadratik dalam sin x/ kos x/ tan x/ kosek x/ sek x/ kot x
Contoh:
Cari semua sudut di antara 0° dan 360° yang boleh menyelesaikan persamaan yang berikut.
(a) 3 sin2 x – 2 sin x – 1 = 0
(b) 2 sin x = kosek x + 1
(c) 5 sin2x = 2 (1 + kos x)
(d) 2 sek x = 1 + kos x
(e) 2 kot2 x + 8 = 7 kosek x
Penyelesaian:
(a)
3 sin2 x – 2 sin x – 1 = 0
(3 sin x + 1)(sin x – 1) = 0
sin x = –⅓, sin x = 1
sin x = –⅓
sudut asas x = 19.47o
x = 180o + 19.47o, 360o – 19.47o
x = 199.47o, 340.53o
sin x = 1, x = 90o
Oleh itu x = 90o, 199.47o, 340.53o
2 sin x = kosek x + 1
\(2\sin x=\frac1{\sin x}+1\)
2 sin2 x = 1 + sin x
2 sin2 x – sin x – 1 = 0
(2 sin x + 1)(sin x – 1) = 0
sin x = –½, sin x = 1
sin x = –½
sudut asas x = 30o
x = 180o + 30o, 360o – 30o
x = 210o, 330o
sin x = 1, x = 90o
Oleh itu x = 90o, 210o, 330o
5 sin2x = 2(1 + kos x)
5 (1 – kos2 x) = 2 + 2 kos x
5 – 5 kos2 x – 2 – 2 kos x = 0
–5 kos2 x – 2 kos x + 3 = 0
5 kos2 x + 2 kos x – 3 = 0
(5 kos x – 3)(kos x + 1) = 0
\(\begin{array}{l}kosx=\frac35,\text{k}osx=-1\\kosx=\frac35\end{array}\)
sudut asas x = 53.13o
x = 53.13o, 360o – 53.13o
cos x = – 1
x = 180o
Oleh itu x = 53.13o, 180o, 306.87o
(d)
2 sek x = 1 + kos x
\(\frac2{kosx}=1+kosx\)
2 = kos x + kos2 x
kos2 x+ kos x – 2 = 0
(kos x – 1)(kos x + 2) = 0
kos x = 1
x = 0o, 360o
kos x = –2 (tidak diterima)
Oleh itu x = 0o, 360o
2 kot2 x + 8 = 7 kosek x
2 (kosek2x – 1) + 8 = 7 kosek x
2 kosek2x – 2 – 7 kosek x + 8 = 0
2 kosek2x – 7 kosek x + 6 = 0
(2 kosek x – 3)(kosek x – 2) = 0
\(\begin{array}{l}kosekx=\frac32,kosekx=2\\\sin x=\frac23,\sin x=\frac12\\\sin x=\frac23\end{array}\)
sudut asas x = 41.81o
x = 41.81o, 180o – 41.81o
sin x = ½
sudut asas x = 30o
x = 30o, 180o – 30o
Oleh itu x = 30o, 41.81o, 138.19o, 150o