6.4 Identiti Asas
sin2 x + kos2 x = 1
sek2 x = 1 + tan2 x
kosek2 x = 1 + kot2 x
Contoh 1 (Pembuktian Identiti Trigonometri dengan Menggunakan Identiti Asas)
Buktikan setiap identity trigonometri yang berikut.
(a) sin2 x – kos2 x = 1 – 2 kos2 x
(b) (1 – kosek2 x) (1– sek2 x) = 1
(c) kot2 x – kot2 x kos2x = kos2 x
Penyelesaian:
(a)
sin2 x– kos2 x = 1 – 2 kos2x
Sebelah kiri: sin2 x– kos2 x
= 1 – kos2 x – kos2 x
= 1 – 2 kos2 x (Sebelah kanan)
(1 – kosek2 x) (1– sek2 x) = 1
Sebelah kiri: (1 – kosek2 x) (1– sek2 x)
= (–kot2 x) (–tan2 x)
= (kot2 x) (tan2 x)
\(\begin{array}{l}={(\frac1{\tan^2x})}\tan^2x\\=1\text{(Sebelah kanan)}\end{array}\)
(c)
kot2 x – kot2 x kos2 x = kos2 x
Sebelah kiri: kot2 x– kot2 x kos2 x
= kot2x (1 – kos2x)
= kot2x (sin2x)
\(\begin{array}{l}={(\frac1{\tan^2x})}\tan^2x\\=1\text{(Sebelah kanan)}\end{array}\)
Contoh 2 (Menyelesaikan Persamaan Trigonometri dengan Identiti Asas)
Selesaikan setiap persamaan trigonometri yang berikut untuk 0o ≤ x ≤ 360o.
(a) sin2 x kos x + 1 = kos x
(b) 2 kosek2 x – 5 kot x = 0
Penyelesaian:
(a)
sin2x kos x + 1 = kos x
(1 – kos2 x) kos x + 1 = kos x
kos x – kos3 x + 1 = kos x
kos3 x = 1
kos x = 1
x = 0o, 360o
2 kosek2 x – 5 kot x = 0
2 (1 + kot2 x) – 5 kot x = 0
2 + 2 kot2 x – 5 kot x = 0
2 kot2 x – 5 kot x + 2 = 0
(2 kot x – 1) (kot x – 2) = 0
kot x = ½ atau kot x = 2
kot x = ½ atau kot x = 2
tan x = 2, tan x = ½
x =63.43o, 243.43o , x = 26.57o, 206.57o
(Perhatian: tangen adalah positif dalam sukuan I dan III)
Oleh itu, x = 26.57o, 63.43o, 206.57o, 243.43o