4.7.1 Indeks, Surd dan Logaritma, SPM Praktis (Soalan Panjang)

Soalan 1

(a) Cari nilai bagi

i. 2 log₂ 12 + 3 log₂5 – log₂ 15 – log₂ 150.

ii. log₈32

(b) Tunjukkan bahawa 5ⁿ+ 5ⁿ⁺¹+ 5ⁿ⁺²boleh dibahagi dengan 31 bagi semua nilai n yang merupakan integer positif.

Penyelesaian:

(a)(i)

2 log₂ 12 + 3 log₂ 5 – log₂15 – log₂ 150

= log₂ 12² + log₂ 5³– log₂ 15 – log₂ 150

= \log_{2} \frac{12^{2} \times 5^{3}}{15 \times 150}

= log₂ 8

= log₂ 2³

= 3

(a)(ii)

\begin{array}{l} \log_{8} 32 = \frac{\log_{2} 32}{\log_{2} 8} \\ = \frac{\log_{2} 2^{5}}{\log_{2} 2^{3}} = \frac{5}{3} \end{array}

(b)

5ⁿ+ 5ⁿ⁺¹+ 5ⁿ⁺²

= 5ⁿ+ (5 × 5ⁿ) + (5² × 5ⁿ)

= 5ⁿ (1 + 5 + 5²)

= 31 × 5ⁿ

Oleh itu, 5ⁿ+ 5ⁿ⁺¹+ 5ⁿ⁺²boleh dibahagi dengan 31 bagi semua nilai n yang merupakan integer positif.

Soalan 2:

(a) Diberi log₁₀ x = 3 dan log₁₀y = –2. Tunjukkan bahawa 2xy – 10000y² = 19.

(b) Selesaikan persamaan log₃ x = log₉(x + 6).

Penyelesaian:

(a)

log₁₀x = 3 → (x = 10³)

log₁₀y = –2 → (y = 10^-2)

2xy – 10000y² = 19

Sebelah kiri:

2xy – 10000y²

= 2 × 10³× 10^-2– 10000 (10^-2)²

= 20 – 10000 (10^-4)

= 20 – 1

= 19

= sebelah kanan

(b)

\begin{array}{l} \log_{3} x = \log_{9} (x + 6) \\ \log_{3} x = \frac{\log_{3} (x + 6)}{\log_{3} 9} \\ \log_{3} x = \frac{\log_{3} (x + 6)}{\log_{3} 3^{2}} \\ \log_{3} x = \frac{\log_{3} (x + 6)}{2} \end{array}

2log₃ x = log₃ (x + 6)

log₃ x²= log₃ (x + 6)

x²= x + 6

x²– x – 6 = 0

(x + 2) (x – 3) = 0

x = – 2 atau 3.

log₃(– 2) tidak wujud.

Jadi, x = 3.