Soalan 7:
Rajah 3 menunjukkan satu bentuk yang dihasilkan daripada gabungan empat sektor dan sebuah segi empat sama ABCD.
A, B, C dan D masing-masing merupakan pusat bagi sektor BAD, PBQ, BCD dan PDQ. Diberi bahawa AB = 5 cm dan panjang garis lurus PQ yang melalui titik A dan titik C ialah 23 cm.
[Guna π = 3.142]
(a) Cari ∠PBQ dalam radian, betul kepada dua tempat perpuluhan. [2 markah]
(b) Seterusnya, cari
(i) perimeter luar, dalam cm,
(ii) luas, dalam cm2, bagi kawasan berlorek.
[7 markah]
Penyelesaian:
(a)
$$ \begin{aligned} P M=M Q & =\frac{1}{2} P Q=11.5 \mathrm{~cm} \\ B M=D M & =\frac{1}{2} B D \\ & =\frac{1}{2}\left(\sqrt{5^2+5^2}\right) \end{aligned} $$$$ \begin{aligned} & =\frac{1}{2}(5 \sqrt{2}) \\ & =\frac{5 \sqrt{2}}{2} \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} \angle P B Q & =2 \times \angle Q B M \\ & =2 \tan ^{-1}\left(\frac{Q M}{B M}\right) \\ & =2 \tan ^{-1}\left(\frac{11.5}{\frac{5 \sqrt{2}}{2}}\right) \\ & =2\left(72.91^{\circ}\right) \\ & =145.82^{\circ} \\ & =2.55 \mathrm{rad} \end{aligned} $$
(b)(i)
$$ \begin{aligned} B Q & =\sqrt{M Q^2+B M^2} \\ & =\sqrt{(11.5)^2+\left(\frac{5 \sqrt{2}}{2}\right)^2} \\ & =\sqrt{\frac{579}{4}} \\ & =12.0312 \mathrm{~cm} \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} &\text { Perimeter luar }=2 A B\\ &\begin{aligned} & =2 \times r \theta \\ & =2(12.0312)(2.55) \\ & =61.3591 \mathrm{~cm} \end{aligned} \end{aligned} $$
(b)(ii)
$$ \begin{aligned} &\text { Luas temberang } P Q\\ &\begin{aligned} & =\frac{1}{2} r^2 \theta-\frac{1}{2} r^2 \sin \theta \\ & =\frac{1}{2}(12.0312)^2(2.55)-\frac{1}{2}(12.0312)^2 \sin 145.82^{\circ} \end{aligned} \end{aligned} $$= 184.5560 – 40.6598
= 143.8962 cm2
Luas seluruh rajah = 2 × 143.8962 = 287.7924 cm2
$$ \begin{aligned} &\text { Luas sektor } B C D \\ &\begin{aligned} & =\frac{1}{2}(5)^2\left(\frac{3 \pi}{2}\right) \\ & =58.9125 \mathrm{~cm}^2 \end{aligned} \end{aligned} $$
Luas kawasan berlorek
= Luas seluruh rajah – Luas sektor BCD – Luas sektor BAD – Luas sektor ABCD
= 287.7924 – 58.9125 – 58.9125 – (5 × 5)
= 144.9674 cm2
Rajah 3 menunjukkan satu bentuk yang dihasilkan daripada gabungan empat sektor dan sebuah segi empat sama ABCD.
A, B, C dan D masing-masing merupakan pusat bagi sektor BAD, PBQ, BCD dan PDQ. Diberi bahawa AB = 5 cm dan panjang garis lurus PQ yang melalui titik A dan titik C ialah 23 cm.[Guna π = 3.142]
(a) Cari ∠PBQ dalam radian, betul kepada dua tempat perpuluhan. [2 markah]
(b) Seterusnya, cari
(i) perimeter luar, dalam cm,
(ii) luas, dalam cm2, bagi kawasan berlorek.
[7 markah]
Penyelesaian:
(a)
$$ \begin{aligned} P M=M Q & =\frac{1}{2} P Q=11.5 \mathrm{~cm} \\ B M=D M & =\frac{1}{2} B D \\ & =\frac{1}{2}\left(\sqrt{5^2+5^2}\right) \end{aligned} $$$$ \begin{aligned} & =\frac{1}{2}(5 \sqrt{2}) \\ & =\frac{5 \sqrt{2}}{2} \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} \angle P B Q & =2 \times \angle Q B M \\ & =2 \tan ^{-1}\left(\frac{Q M}{B M}\right) \\ & =2 \tan ^{-1}\left(\frac{11.5}{\frac{5 \sqrt{2}}{2}}\right) \\ & =2\left(72.91^{\circ}\right) \\ & =145.82^{\circ} \\ & =2.55 \mathrm{rad} \end{aligned} $$
(b)(i)
$$ \begin{aligned} B Q & =\sqrt{M Q^2+B M^2} \\ & =\sqrt{(11.5)^2+\left(\frac{5 \sqrt{2}}{2}\right)^2} \\ & =\sqrt{\frac{579}{4}} \\ & =12.0312 \mathrm{~cm} \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} &\text { Perimeter luar }=2 A B\\ &\begin{aligned} & =2 \times r \theta \\ & =2(12.0312)(2.55) \\ & =61.3591 \mathrm{~cm} \end{aligned} \end{aligned} $$
(b)(ii)
$$ \begin{aligned} &\text { Luas temberang } P Q\\ &\begin{aligned} & =\frac{1}{2} r^2 \theta-\frac{1}{2} r^2 \sin \theta \\ & =\frac{1}{2}(12.0312)^2(2.55)-\frac{1}{2}(12.0312)^2 \sin 145.82^{\circ} \end{aligned} \end{aligned} $$= 184.5560 – 40.6598
= 143.8962 cm2
Luas seluruh rajah = 2 × 143.8962 = 287.7924 cm2
$$ \begin{aligned} &\text { Luas sektor } B C D \\ &\begin{aligned} & =\frac{1}{2}(5)^2\left(\frac{3 \pi}{2}\right) \\ & =58.9125 \mathrm{~cm}^2 \end{aligned} \end{aligned} $$
Luas kawasan berlorek
= Luas seluruh rajah – Luas sektor BCD – Luas sektor BAD – Luas sektor ABCD
= 287.7924 – 58.9125 – 58.9125 – (5 × 5)
= 144.9674 cm2