Matematik Tambahan SPM 2017, Kertas 2 (Soalan 10)

Soalan 10 (10 markah):
(a) Buktikan bahawa 2 tan x kos² x = sin 2x.

 

(b) Seterusnya, selesaikan persamaan 4 tan x kos² x = 1 untuk 0 ≤ x ≤ 2π.

(c)(i) Lakar graf y = sin 2x untuk 0 ≤ x ≤ 2π.

(c)(ii) Seterusnya, menggunakan paksi yang sama, lakar satu garis lurus yang sesuai untuk mencari bilangan penyelesaian bagi persamaan 4π tan x kos² x = x – 2π untuk 0 ≤ x ≤ 2π.
Nyatakan bilangan penyelesaian.

Penyelesaian: 
(a)

$\begin{array}{l}2\tan xko{s}^{2}x=\sin 2x\\ \text{Sebelah kiri}\\ =2\tan xko{s}^{2}x\\ =2\times \frac{\sin x}{\cos x}\times ko{s}^{2}x\\ =2\sin xkosx\\ =\sin 2x\\ =\text{ Sebelah kanan }\left(\text{Terbukti}\right)\end{array}$

 

(b)

$\begin{array}{l}4\tan xko{s}^{2}x=1,0\le x\le 2\pi \\ 2\left(2\tan xko{s}^{2}x\right)=1\\ 2\sin 2x=1\\ \sin 2x=\frac{1}{2}\\ \text{Sudut asas}=\frac{\pi }{6}\\ 2x=\frac{\pi }{6},\left(\pi -\frac{\pi }{6}\right),\left(2\pi +\frac{\pi }{6}\right),\left(3\pi -\frac{\pi }{6}\right)\\ 2x=\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6},\frac{13\pi }{6},\frac{17\pi }{6}\\ x=\frac{\pi }{12},\frac{5\pi }{12},\frac{13\pi }{12},\frac{17\pi }{12}\end{array}$

 

(c)(i)
y = sin 2x, 0 ≤ x ≤ 2π.

(c)(ii)

$\begin{array}{l}4\pi \tan xko{s}^{2}x=x-2\pi \\ 2\pi \left(2\tan xko{s}^{2}x\right)=x-2\pi \\ 2\pi \sin 2x=x-2\pi \\ \sin 2x=\frac{x}{2\pi }-\frac{2\pi }{2\pi }\\ \sin 2x=\frac{x}{2\pi }-1\\ y=\frac{x}{2\pi }-1\end{array}$

Bilangan penyelesaian = 4