3.8.3 Pengamiran, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 5

Dalam rajah di bawah, garis lurus WY ialah normal kepada lengkung

y = \frac{1}{2} x^{2} + 1

pada B (2, 4). Garis lurus BQ adalah selari dengan paksi-y.

Cari
(a) nilai t,
(b) luas rantau yang berlorek,
(c) Isipadu janaan, dalam sebutan π, apabila rantau yang dibatasi oleh lengkung itu, paksi-y dan garis lurus y = 4 dikisarkan melalui 360^o pada paksi-y.

Penyelesaian:

(a)

\begin{array}{l} y = \frac{1}{2} x^{2} + 1 \\ Kecerunan tangen, \frac{d y}{d x} = 2 (\frac{1}{2} x) = x \\ pada titik B, \frac{d y}{d x} = 2 \\ Kecerunan normal, m_{2} = - \frac{1}{2} \\ \frac{4 - 0}{2 - t} = - \frac{1}{2} \\ 8 = - 2 + t \\ t = 10 \end{array}

(b)

Luas rantau yang berlorek

= Luas di bawah lengkung + Luas segi tiga BQY

\begin{array}{l} = \int_{0}^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + 1) d x + \frac{1}{2} (10 - 2) (4) \\ = {[\frac{x^{3}}{6} + x]}_{0}^{2} + 16 \\ = [\frac{8}{6} + 2] - 0 + 16 \\ = 19 \frac{1}{3} {unit}^{2} \end{array}

(c)

Pada paksi-y, x = 0, y = ½ (0) + 1 = 1

\begin{array}{l} y = \frac{1}{2} x^{2} + 1 \to x^{2} = 2 y - 2 \\ Isipadu janaan \\ = π \int x^{2} d y \\ = π \int_{1}^{4} (2 y - 2) d y \\ = π {[y^{2} - 2 y]}_{1}^{4} \\ = π [(16 - 8) - (1 - 2)] \\ = 9 π {unit}^{3} \end{array}

Soalan 6:

Rajah di bawah menunjukkan sebahagian daripada lengkung

y = \frac{2}{{(3 x - 2)}^{2}}

yang melalui B (1, 2).

(a) Carikan persamaan tangen kepada lengkung itu pada titik B.
(b) Suatu rantau dibatasi oleh lengkung itu, paksi-x, garis lurus x = 2 dan x = 3.
(i) Cari luas rantau yang berlorek.
(ii) Rantau itu dikisarkan melalui 360^o pada paksi-x.
Carikan isipadu janaan, dalam sebutan π.

Penyelesaian:

(a)

\begin{array}{l} y = \frac{2}{{(3 x - 2)}^{2}} = 2 {(3 x - 2)}^{- 2} \\ \frac{d y}{d x} = - 4 {(3 x - 2)}^{- 3} (3) \\ \frac{d y}{d x} = \frac{- 12}{{(3 x - 2)}^{3}} \\ \frac{d y}{d x} = \frac{- 12}{{(3 (1) - 2)}^{3}}, x = 1 \end{array}

y – 2 = –12 (x – 1)

y – 2 = –12x + 12

y = –12x + 14

(b)(i)

\begin{array}{l} Area = \int_{2}^{3} y d x \\ = \int_{2}^{3} \frac{2}{{(3 x - 2)}^{2}} d x = \int_{2}^{3} 2 {(3 x - 2)}^{- 2} d x \\ = {[\frac{2 {(3 x - 2)}^{- 1}}{- 1 (3)}]}_{2}^{3} \\ = {[- \frac{2}{3 (3 x - 2)}]}_{2}^{3} \\ = [- \frac{2}{3 [3 (3) - 2]}] - [- \frac{2}{3 [3 (2) - 2]}] \\ = - \frac{2}{21} + \frac{1}{6} \\ = \frac{1}{14} {unit}^{2} \end{array}

(b)(ii)

Isipadu janaan

\begin{array}{l} = π \int y^{2} d x \\ = π \int_{2}^{3} \frac{4}{{(3 x - 2)}^{4}} d x = π \int_{2}^{3} 4 {(3 x - 2)}^{- 4} d x \\ = π {[\frac{4 {(3 x - 2)}^{- 3}}{- 3 (3)}]}_{2}^{3} = π {[- \frac{4}{9 {(3 x - 2)}^{3}}]}_{2}^{3} \\ = π [- \frac{4}{9 {[3 (3) - 2]}^{3}}] - [- \frac{4}{9 {[3 (2) - 2]}^{3}}] \\ = π (- \frac{4}{3087} + \frac{4}{576}) \\ = \frac{31}{5488} π {unit}^{3} \end{array}

Leave a Comment Cancel reply