Soalan 10:
Rajah 7 menunjukkan segulung aluminium.
Gulungan aluminium itu mempunyai panjang 55440 mm dan boleh dipotong tepat kepada 72 bahagian. Panjang kepingan pertama ialah x mm dan panjang setiap keping berikutnya bertambah 20 mm . Atan ditugaskan untuk memotong gulungan aluminium itu.
(a) Nyatakan panjang, dalam mm, tiga kepingan pertama aluminium itu dalam sebutan x. [1 markah]
(b) Atan telah menyelesaikan 2/3 daripada tugasnya.
Dengan menentukan nilai x, hitung jumlah panjang, dalam mm , 18 kepingan terakhir yang telah dipotong. [4 markah]
(c) Potongan kepingan aluminium itu boleh dibentuk menjadi sebuah silinder terbuka pada kedua-dua hujung dengan dua cara yang berbeza. Setelah Atan menyelesaikan tugasnya, abangnya telah memilih kepingan terakhir untuk membentuk sebuah silinder dengan isi padu maksimum.
Dengan pengiraan, cadangkan silinder yang memenuhi syarat tersebut. [3 markah]
Penyelesaian:
(a) $$ (x, x+20, x+40) \mathrm{mm} $$
(b) $$ \begin{aligned} & a=x \\ & T_{72}=x+(72-1)(20) \\ & =x+1420 \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} S_{72} & =55440 \\ \frac{72}{2}(x+x+1420) & =55440 \\ 2 x+1420 & =\frac{55440}{36} \\ x & =60 \end{aligned} $$
$$ 18 \text { kepingan terakhir: } T_{55}, T_{56}, \ldots, T_{72} $$
$$ \begin{aligned} S_{18} & =\frac{18}{2}[2(60+30(20))+(18-1)(20)] \\ & =14940 \mathrm{~mm} \end{aligned} $$
(c) Cara 1 :
$$ 60+(72-1)(20)=1480 $$
$$ \begin{aligned} 2 \pi r & =1480 \\ r & =\frac{1480}{2} \\ & =\frac{740}{\pi} \end{aligned} $$
$$ 60+(72-1)(20)=1480 \text { dan } r=\frac{740}{\pi} $$
$$ \begin{aligned} V_1 & =\pi r^2 h \\ & =\pi\left(\frac{740}{\pi}\right)^2(500) \\ & =\frac{273800000}{\pi} \mathrm{~mm}^3 \\ & =\frac{2.738 \times 10^8}{\pi} \mathrm{~mm}^3 \end{aligned} $$
Cara 2 :
$$
\begin{aligned}
2 \pi r & =500 \\
r & =\frac{500}{2 \pi} \\
& =\frac{250}{\pi}
\end{aligned}
$$
$$ \begin{aligned} V_2 & =\pi r^2 h \\ & =\pi\left(\frac{250}{\pi}\right)^2(1480) \\ & =\frac{92500000}{\pi} \mathrm{~mm}^3 \\ & =\frac{9.25 \times 10^7}{\pi} \mathrm{~mm}^3 \end{aligned} $$
$$ V_1=\pi\left(\frac{740}{\pi}\right)^2(500) \text { dan } V_2=\pi\left(\frac{250}{\pi}\right)^2(1480) $$
$$ \text { Cara } 1 \text { membentuk silinder dengan isi padu maksimum: } $$
$$ V_1=\frac{2.738 \times 10^8}{\pi} \mathrm{~mm}^3 \text { dan } r=\frac{740}{\pi} $$
Rajah 7 menunjukkan segulung aluminium.
Gulungan aluminium itu mempunyai panjang 55440 mm dan boleh dipotong tepat kepada 72 bahagian. Panjang kepingan pertama ialah x mm dan panjang setiap keping berikutnya bertambah 20 mm . Atan ditugaskan untuk memotong gulungan aluminium itu.(a) Nyatakan panjang, dalam mm, tiga kepingan pertama aluminium itu dalam sebutan x. [1 markah]
(b) Atan telah menyelesaikan 2/3 daripada tugasnya.
Dengan menentukan nilai x, hitung jumlah panjang, dalam mm , 18 kepingan terakhir yang telah dipotong. [4 markah]
(c) Potongan kepingan aluminium itu boleh dibentuk menjadi sebuah silinder terbuka pada kedua-dua hujung dengan dua cara yang berbeza. Setelah Atan menyelesaikan tugasnya, abangnya telah memilih kepingan terakhir untuk membentuk sebuah silinder dengan isi padu maksimum.
Dengan pengiraan, cadangkan silinder yang memenuhi syarat tersebut. [3 markah]
Penyelesaian:
(a) $$ (x, x+20, x+40) \mathrm{mm} $$
(b) $$ \begin{aligned} & a=x \\ & T_{72}=x+(72-1)(20) \\ & =x+1420 \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} S_{72} & =55440 \\ \frac{72}{2}(x+x+1420) & =55440 \\ 2 x+1420 & =\frac{55440}{36} \\ x & =60 \end{aligned} $$
$$ 18 \text { kepingan terakhir: } T_{55}, T_{56}, \ldots, T_{72} $$
$$ \begin{aligned} S_{18} & =\frac{18}{2}[2(60+30(20))+(18-1)(20)] \\ & =14940 \mathrm{~mm} \end{aligned} $$
(c) Cara 1 :
$$ 60+(72-1)(20)=1480 $$
$$ \begin{aligned} 2 \pi r & =1480 \\ r & =\frac{1480}{2} \\ & =\frac{740}{\pi} \end{aligned} $$
$$ 60+(72-1)(20)=1480 \text { dan } r=\frac{740}{\pi} $$
$$ \begin{aligned} V_1 & =\pi r^2 h \\ & =\pi\left(\frac{740}{\pi}\right)^2(500) \\ & =\frac{273800000}{\pi} \mathrm{~mm}^3 \\ & =\frac{2.738 \times 10^8}{\pi} \mathrm{~mm}^3 \end{aligned} $$
Cara 2 :
$$
\begin{aligned}
2 \pi r & =500 \\
r & =\frac{500}{2 \pi} \\
& =\frac{250}{\pi}
\end{aligned}
$$$$ \begin{aligned} V_2 & =\pi r^2 h \\ & =\pi\left(\frac{250}{\pi}\right)^2(1480) \\ & =\frac{92500000}{\pi} \mathrm{~mm}^3 \\ & =\frac{9.25 \times 10^7}{\pi} \mathrm{~mm}^3 \end{aligned} $$
$$ V_1=\pi\left(\frac{740}{\pi}\right)^2(500) \text { dan } V_2=\pi\left(\frac{250}{\pi}\right)^2(1480) $$
$$ \text { Cara } 1 \text { membentuk silinder dengan isi padu maksimum: } $$
$$ V_1=\frac{2.738 \times 10^8}{\pi} \mathrm{~mm}^3 \text { dan } r=\frac{740}{\pi} $$