Soalan 8:
Rajah 5 menunjukkan satu garis lurus AB.
(a) Diberi bahawa titik B membahagi tembereng garis AC dalam nisbah m : n dengan keadaan C (r, s).
Terbitkan rumus bagi titik yang membahagi tembereng garis itu.
[2 markah]
(b) Diberi bahawa A (3, 2) dan B (6, 0),
(i) nyatakan julat nilai r dan nilai s jika m ≤ n,
(ii) $$ \text { cari nilai } p \text { jika garis lurus } \frac{x}{6}+\frac{y}{p}=1 \text { adalah selari dengan } A B \text {. } $$
[4 markah]
Penyelesaian:
(a)
$$
(x, y)=\left(\frac{m r+n p}{m+n}, \frac{m s+n q}{m+n}\right)
$$
(b)(i)
$$ \begin{aligned} \frac{m}{n} & =\frac{6-3}{r-6} \\ \frac{m}{n} & =\frac{3}{r-6} \\ m & \leqslant n \\ r-6 & \geqslant 3 \\ r & \geqslant 9 \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} \frac{m}{n} & =\frac{2-0}{0-s} \\ \frac{m}{n} & =\frac{2}{-s} \\ m & \leqslant n \\ 2 & \leqslant-s \\ s & \leqslant-2 \end{aligned} $$
(b)(ii) $$ \begin{aligned} m_{A B} & =\frac{2-0}{3-6}=-\frac{2}{3} \\ m & =-\frac{p}{6} \\ -\frac{p}{6} & =-\frac{2}{3} \\ p & =4 \end{aligned} $$
Rajah 5 menunjukkan satu garis lurus AB.
(a) Diberi bahawa titik B membahagi tembereng garis AC dalam nisbah m : n dengan keadaan C (r, s).
Terbitkan rumus bagi titik yang membahagi tembereng garis itu.
[2 markah]
(b) Diberi bahawa A (3, 2) dan B (6, 0),
(i) nyatakan julat nilai r dan nilai s jika m ≤ n,
(ii) $$ \text { cari nilai } p \text { jika garis lurus } \frac{x}{6}+\frac{y}{p}=1 \text { adalah selari dengan } A B \text {. } $$
[4 markah]
Penyelesaian:
(a)
$$
(x, y)=\left(\frac{m r+n p}{m+n}, \frac{m s+n q}{m+n}\right)
$$(b)(i)
$$ \begin{aligned} \frac{m}{n} & =\frac{6-3}{r-6} \\ \frac{m}{n} & =\frac{3}{r-6} \\ m & \leqslant n \\ r-6 & \geqslant 3 \\ r & \geqslant 9 \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} \frac{m}{n} & =\frac{2-0}{0-s} \\ \frac{m}{n} & =\frac{2}{-s} \\ m & \leqslant n \\ 2 & \leqslant-s \\ s & \leqslant-2 \end{aligned} $$
(b)(ii) $$ \begin{aligned} m_{A B} & =\frac{2-0}{3-6}=-\frac{2}{3} \\ m & =-\frac{p}{6} \\ -\frac{p}{6} & =-\frac{2}{3} \\ p & =4 \end{aligned} $$
Soalan 9:
Rajah 6 menunjukkan rantau berlorek yang dibatasi oleh lengkung y = x3 – 6x2 + 12x – 6, y = g(x) dan garis lurus x = 2. Lengkung-lengkung itu bersilang pada titik A.
$$ \text { Diberi bahawa luas di bawah lengkung } y=g(x) \text { diwakili oleh }\left[-x^3+4 x^2-4 x\right]_1^2 \text {. } $$
Cari
(a) persamaan g(x), [1 markah]
(b) luas rantau berlorek. [4 markah]
Penyelesaian:
(a) $$ g(x)=-3 x^2+8 x-4 $$
(b) $$ \begin{aligned} &\text { Kawasan berlorek }\\ &\begin{aligned} & =\int_1^2\left(x^3-6 x^2+12 x-6\right) \mathrm{d} x-\left[-x^3+4 x^2-4 x\right]_1^2 \\ & =\left[\frac{x^4}{4}-\frac{6 x^3}{3}+\frac{12 x^2}{2}-6 x+x^3-4 x^2+4 x\right]_1^2 \\ & =\left[\frac{x^4}{4}-x^3+2 x^2-2 x\right]_1^2 \\ & =\left[\frac{2^4}{4}-2^3+2(2)^2-2(2)\right]-\left[\frac{1}{4}-1^3+2(1)^2-2(1)\right] \\ & =\left(\frac{16}{4}-8+8-4\right)-\left(\frac{1}{4}-1+2-2\right) \\ & =0-\left(-\frac{3}{4}\right) \\ & =\frac{3}{4} \text { unit }^2 \end{aligned} \end{aligned} $$
Rajah 6 menunjukkan rantau berlorek yang dibatasi oleh lengkung y = x3 – 6x2 + 12x – 6, y = g(x) dan garis lurus x = 2. Lengkung-lengkung itu bersilang pada titik A.
$$ \text { Diberi bahawa luas di bawah lengkung } y=g(x) \text { diwakili oleh }\left[-x^3+4 x^2-4 x\right]_1^2 \text {. } $$
Cari
(a) persamaan g(x), [1 markah]
(b) luas rantau berlorek. [4 markah]
Penyelesaian:
(a) $$ g(x)=-3 x^2+8 x-4 $$
(b) $$ \begin{aligned} &\text { Kawasan berlorek }\\ &\begin{aligned} & =\int_1^2\left(x^3-6 x^2+12 x-6\right) \mathrm{d} x-\left[-x^3+4 x^2-4 x\right]_1^2 \\ & =\left[\frac{x^4}{4}-\frac{6 x^3}{3}+\frac{12 x^2}{2}-6 x+x^3-4 x^2+4 x\right]_1^2 \\ & =\left[\frac{x^4}{4}-x^3+2 x^2-2 x\right]_1^2 \\ & =\left[\frac{2^4}{4}-2^3+2(2)^2-2(2)\right]-\left[\frac{1}{4}-1^3+2(1)^2-2(1)\right] \\ & =\left(\frac{16}{4}-8+8-4\right)-\left(\frac{1}{4}-1+2-2\right) \\ & =0-\left(-\frac{3}{4}\right) \\ & =\frac{3}{4} \text { unit }^2 \end{aligned} \end{aligned} $$