Soalan 10:
Rajah 5 menunjukkan garis lurus AB menyilang lengkung y2 = x + 9 pada titik A.
Cari
(a) kecerunan tangen kepada lengkung pada titik A, [2 markah]
(b) luas rantau berlorek, [5 markah]
(c) isi padu janaan, dalam sebutan π, apabila rantau yang dibatasi oleh lengkung, garis lurus y = h, paksi-y dan paksi-x dikisarkan melalui 360o pada paksi- y. [3 markah]
Jawapan:
(a) $$ \begin{aligned} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x} & =\frac{1}{2}(x+9)^{-\frac{1}{2}}(1) \\ & =\frac{1}{2}(-5+9)^{-\frac{1}{2}} \\ & =\frac{1}{4} \end{aligned} $$
(b) $$ \begin{aligned} h & =\sqrt{-5+9} \\ & = \pm 2 \\ \therefore h & =2 \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} \int_{-9}^{-5}(x+9)^{\frac{1}{2}} & =\left[\frac{2}{3}(x+9)^{\frac{3}{2}}\right]_{-9}^{-5} \\ & =\frac{2}{3}(-5+9)^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{3}(-9+9)^{\frac{3}{2}} \\ & =\frac{16}{3} \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} &\text { Luas kawasan berlorek }\\ &\begin{aligned} & =\frac{1}{2}\left(2+\frac{3}{2}\right)(5)+\frac{16}{3} \\ & =14.08 \end{aligned} \end{aligned} $$
(c) $$ \begin{aligned} & \pi \int_0^2\left(y^2-9\right)^2 \mathrm{~d} y \\ & =\pi \int_0^2 y^4-18 y^2+81 \mathrm{~d} y \\ & =\pi\left[\frac{y^5}{5}-\frac{18 y^3}{3}+81 y\right]_0^2 \\ & =\pi\left[\frac{y^5}{5}-6 y^3+81 y\right]_0^2 \\ & =\pi\left[\frac{(2)^5}{5}-6(2)^3+81(2)\right]-\pi\left[\frac{(0)^5}{5}-6(0)^3+81(0)\right] \\ & =120.4 \pi \end{aligned} $$
Rajah 5 menunjukkan garis lurus AB menyilang lengkung y2 = x + 9 pada titik A.
Cari (a) kecerunan tangen kepada lengkung pada titik A, [2 markah]
(b) luas rantau berlorek, [5 markah]
(c) isi padu janaan, dalam sebutan π, apabila rantau yang dibatasi oleh lengkung, garis lurus y = h, paksi-y dan paksi-x dikisarkan melalui 360o pada paksi- y. [3 markah]
Jawapan:
(a) $$ \begin{aligned} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x} & =\frac{1}{2}(x+9)^{-\frac{1}{2}}(1) \\ & =\frac{1}{2}(-5+9)^{-\frac{1}{2}} \\ & =\frac{1}{4} \end{aligned} $$
(b) $$ \begin{aligned} h & =\sqrt{-5+9} \\ & = \pm 2 \\ \therefore h & =2 \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} \int_{-9}^{-5}(x+9)^{\frac{1}{2}} & =\left[\frac{2}{3}(x+9)^{\frac{3}{2}}\right]_{-9}^{-5} \\ & =\frac{2}{3}(-5+9)^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{3}(-9+9)^{\frac{3}{2}} \\ & =\frac{16}{3} \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} &\text { Luas kawasan berlorek }\\ &\begin{aligned} & =\frac{1}{2}\left(2+\frac{3}{2}\right)(5)+\frac{16}{3} \\ & =14.08 \end{aligned} \end{aligned} $$
(c) $$ \begin{aligned} & \pi \int_0^2\left(y^2-9\right)^2 \mathrm{~d} y \\ & =\pi \int_0^2 y^4-18 y^2+81 \mathrm{~d} y \\ & =\pi\left[\frac{y^5}{5}-\frac{18 y^3}{3}+81 y\right]_0^2 \\ & =\pi\left[\frac{y^5}{5}-6 y^3+81 y\right]_0^2 \\ & =\pi\left[\frac{(2)^5}{5}-6(2)^3+81(2)\right]-\pi\left[\frac{(0)^5}{5}-6(0)^3+81(0)\right] \\ & =120.4 \pi \end{aligned} $$
Soalan 11:
Jadual 1 menunjukkan nilai-nilai bagi dua pemboleh ubah, x dan y, yang diperoleh daripada suatu eksperimen. Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan ay = b√x + 1/√x, dengan keadaan a dan b ialah pemalar.
(a) Plot y√x melawan x, menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-x dan 2 cm kepada 2 unit pada paksi-y√x.
Seterusnya, lukis garis lurus penyuaian terbaik.
[4 markah]
(b) Menggunakan graf di 11(a),
(i) cari nilai y apabila x = 5.7,
(ii) tulis ay = b√x + 1/√x dalam bentuk linear, seterusnya cari nilai a dan nilai b.
[6 markah]
Jawapan:
(a)
(b)(i) $$ \begin{aligned} x=5.7, y \sqrt{x} & \\ y \sqrt{5.7} & =8.3 \\ y & =3.476 \end{aligned} $$
(b)(ii) $$ \begin{aligned} & y \sqrt{x}=\frac{b}{a} x+\frac{1}{a} \\ & m=\frac{2.41-(-7)}{3.5-0} \\ & =2.689 \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} & \frac{1}{a}=-7 \\ & a=-\frac{1}{7} \\ & \frac{b}{-\frac{1}{7}}=2.689 \\ & b=-0.3841 \end{aligned} $$
Jadual 1 menunjukkan nilai-nilai bagi dua pemboleh ubah, x dan y, yang diperoleh daripada suatu eksperimen. Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan ay = b√x + 1/√x, dengan keadaan a dan b ialah pemalar.
(a) Plot y√x melawan x, menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-x dan 2 cm kepada 2 unit pada paksi-y√x.
Seterusnya, lukis garis lurus penyuaian terbaik.
[4 markah]
(b) Menggunakan graf di 11(a),
(i) cari nilai y apabila x = 5.7,
(ii) tulis ay = b√x + 1/√x dalam bentuk linear, seterusnya cari nilai a dan nilai b.
[6 markah]
Jawapan:
(a)
(b)(i) $$ \begin{aligned} x=5.7, y \sqrt{x} & \\ y \sqrt{5.7} & =8.3 \\ y & =3.476 \end{aligned} $$
(b)(ii) $$ \begin{aligned} & y \sqrt{x}=\frac{b}{a} x+\frac{1}{a} \\ & m=\frac{2.41-(-7)}{3.5-0} \\ & =2.689 \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} & \frac{1}{a}=-7 \\ & a=-\frac{1}{7} \\ & \frac{b}{-\frac{1}{7}}=2.689 \\ & b=-0.3841 \end{aligned} $$