Soalan 8:
Rajah 4 menunjukkan segi tiga OBQ dan garis lurus OAC. Titik P terletak pada garis lurus OQ dan OC = 3OA.
$$
\text { Diberi bahawa } \overrightarrow{O A}=\underline{a}, \overrightarrow{O B}=\underline{b}, \overrightarrow{A P}=\frac{1}{3} \overrightarrow{A B} \text { dan } \overrightarrow{O Q}=k \overrightarrow{O P} \text {, }
$$
$$ \text { dengan keadaan } k \text { ialah pemalar. } $$
(a) Ungkapkan
(i) $$ \overrightarrow{O P} \text { dalam sebutan } \underline{a} \text { dan } \underline{b} \text {, } $$
(ii) $$ \stackrel{\rightharpoonup}{B Q} \text { dalam sebutan } k, \underline{a} \text { dan } \underline{b} . $$
[4 markah]
(b) $$ \text { Seterusnya, cari nilai } h \text { dan nilai } k \text { jika } \overrightarrow{B Q}=h \overrightarrow{B C} \text {, dengan keadaan } h \text { ialah pemalar. } $$
[5 markah]
(c) $$ \text { Nyatakan } B Q: Q C \text {. } $$
[1 markah]
Jawapan:
(a)(i) $$ \begin{aligned} \overrightarrow{O P} & =\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{A P} \\ & =\underline{a}+\frac{1}{3}(-\underline{a}+\underline{b}) \\ & =\frac{2}{3} \underline{a}+\frac{1}{3} \underline{b} \end{aligned} $$
(a)(ii) $$ \begin{aligned} \stackrel{\rightharpoonup}{B Q} & =\stackrel{\rightharpoonup}{B O}+\stackrel{\rightharpoonup}{O Q} \\ & =-\underline{b}+k\left(\frac{2}{3} \underline{a}+\frac{1}{3} \underline{b}\right) \\ & =-\underline{b}+\frac{2}{3} k \underline{a}+\frac{k}{3} \underline{b} \end{aligned} $$
(b) $$ \begin{aligned} \overrightarrow{B Q} & =h \overrightarrow{B C} \\ -\underline{b}+\frac{2}{3} k \underline{a}+\frac{k}{3} \underline{b} & =h(-\underline{b}+3 \underline{a}) \\ \left(-1+\frac{k}{3}\right) \underline{b}+\frac{2}{3} k \underline{a} & =-h \underline{b}+3 h \underline{a} \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} &\text { Banding: }\\ &\begin{aligned} -1+\frac{k}{3} & =-h \\ \frac{2}{3} k & =3 h \\ \frac{2}{3} k & =3\left(1-\frac{k}{3}\right) \\ k & =\frac{9}{5} \\ h=1-\frac{9}{15} & =\frac{2}{5} \end{aligned} \end{aligned} $$
(c) $$ \begin{aligned} & 5 B Q=2 B C \\ & B Q: Q C=2: 3 \end{aligned} $$
Rajah 4 menunjukkan segi tiga OBQ dan garis lurus OAC. Titik P terletak pada garis lurus OQ dan OC = 3OA.
$$
\text { Diberi bahawa } \overrightarrow{O A}=\underline{a}, \overrightarrow{O B}=\underline{b}, \overrightarrow{A P}=\frac{1}{3} \overrightarrow{A B} \text { dan } \overrightarrow{O Q}=k \overrightarrow{O P} \text {, }
$$$$ \text { dengan keadaan } k \text { ialah pemalar. } $$
(a) Ungkapkan
(i) $$ \overrightarrow{O P} \text { dalam sebutan } \underline{a} \text { dan } \underline{b} \text {, } $$
(ii) $$ \stackrel{\rightharpoonup}{B Q} \text { dalam sebutan } k, \underline{a} \text { dan } \underline{b} . $$
[4 markah]
(b) $$ \text { Seterusnya, cari nilai } h \text { dan nilai } k \text { jika } \overrightarrow{B Q}=h \overrightarrow{B C} \text {, dengan keadaan } h \text { ialah pemalar. } $$
[5 markah]
(c) $$ \text { Nyatakan } B Q: Q C \text {. } $$
[1 markah]
Jawapan:
(a)(i) $$ \begin{aligned} \overrightarrow{O P} & =\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{A P} \\ & =\underline{a}+\frac{1}{3}(-\underline{a}+\underline{b}) \\ & =\frac{2}{3} \underline{a}+\frac{1}{3} \underline{b} \end{aligned} $$
(a)(ii) $$ \begin{aligned} \stackrel{\rightharpoonup}{B Q} & =\stackrel{\rightharpoonup}{B O}+\stackrel{\rightharpoonup}{O Q} \\ & =-\underline{b}+k\left(\frac{2}{3} \underline{a}+\frac{1}{3} \underline{b}\right) \\ & =-\underline{b}+\frac{2}{3} k \underline{a}+\frac{k}{3} \underline{b} \end{aligned} $$
(b) $$ \begin{aligned} \overrightarrow{B Q} & =h \overrightarrow{B C} \\ -\underline{b}+\frac{2}{3} k \underline{a}+\frac{k}{3} \underline{b} & =h(-\underline{b}+3 \underline{a}) \\ \left(-1+\frac{k}{3}\right) \underline{b}+\frac{2}{3} k \underline{a} & =-h \underline{b}+3 h \underline{a} \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} &\text { Banding: }\\ &\begin{aligned} -1+\frac{k}{3} & =-h \\ \frac{2}{3} k & =3 h \\ \frac{2}{3} k & =3\left(1-\frac{k}{3}\right) \\ k & =\frac{9}{5} \\ h=1-\frac{9}{15} & =\frac{2}{5} \end{aligned} \end{aligned} $$
(c) $$ \begin{aligned} & 5 B Q=2 B C \\ & B Q: Q C=2: 3 \end{aligned} $$
Soalan 9:
Jisim ahli kadet polis di sebuah sekolah adalah bertabur secara normal dengan min 60 kg. Diberi bahawa kebarangkalian seorang ahli kadet polis yang dipilih secara rawak daripada sekolah itu mempunyai jisim kurang daripada 61 kg ialah 0.9772 .
(a) Jika 8 orang ahli kadet polis dipilih secara rawak daripada sekolah itu, cari kebarangkalian bahawa
(i) semua 8 orang ahli itu mempunyai jisim kurang daripada 61 kg,
(ii) selebih-lebihnya 6 orang ahli mempunyai jisim kurang daripada 61 kg.
[5 markah]
(b) Jika seorang ahli kadet polis dipilih secara rawak dari sekolah itu, cari kebarangkalian bahawa jisimnya adalah kurang daripada 60.5 kg. [5 markah]
Jawapan:
(a)(i) $$ \begin{aligned} & { }^8 C_8\left(0.9772^8\right)\left(0.0228^0\right) \\ & =0.8315 \end{aligned} $$
(a)(ii) $$ \begin{aligned} & P(X \leqslant 6) \\ & =1-{ }^8 C_8\left(0.9772^8\right)\left(0.0228^0\right)-{ }^8 C_7\left(0.9772^7\right)\left(0.0228^1\right) \\ & =0.0133 \end{aligned} $$
(b) $$ \begin{aligned} \frac{61-60}{\sigma} & =1.999 \\ \sigma & =0.5 \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} & P(X<60.5) \\ & =P\left(Z<\frac{60.5-60}{0.5}\right) \\ & =P(Z<1) \\ & =1-P(Z \geqslant 1) \\ & =0.8413 \end{aligned} $$
Jisim ahli kadet polis di sebuah sekolah adalah bertabur secara normal dengan min 60 kg. Diberi bahawa kebarangkalian seorang ahli kadet polis yang dipilih secara rawak daripada sekolah itu mempunyai jisim kurang daripada 61 kg ialah 0.9772 .
(a) Jika 8 orang ahli kadet polis dipilih secara rawak daripada sekolah itu, cari kebarangkalian bahawa
(i) semua 8 orang ahli itu mempunyai jisim kurang daripada 61 kg,
(ii) selebih-lebihnya 6 orang ahli mempunyai jisim kurang daripada 61 kg.
[5 markah]
(b) Jika seorang ahli kadet polis dipilih secara rawak dari sekolah itu, cari kebarangkalian bahawa jisimnya adalah kurang daripada 60.5 kg. [5 markah]
Jawapan:
(a)(i) $$ \begin{aligned} & { }^8 C_8\left(0.9772^8\right)\left(0.0228^0\right) \\ & =0.8315 \end{aligned} $$
(a)(ii) $$ \begin{aligned} & P(X \leqslant 6) \\ & =1-{ }^8 C_8\left(0.9772^8\right)\left(0.0228^0\right)-{ }^8 C_7\left(0.9772^7\right)\left(0.0228^1\right) \\ & =0.0133 \end{aligned} $$
(b) $$ \begin{aligned} \frac{61-60}{\sigma} & =1.999 \\ \sigma & =0.5 \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} & P(X<60.5) \\ & =P\left(Z<\frac{60.5-60}{0.5}\right) \\ & =P(Z<1) \\ & =1-P(Z \geqslant 1) \\ & =0.8413 \end{aligned} $$