Soalan 5:
Rajah 2 menunjukkan pelan sebuah taman berbentuk segi empat tepat ABCD.
Sebuah kolam berbentuk sukuan bulatan dengan pusat D akan dibina dalam taman itu. Luas yang tinggal, (90x + 27)π meter2, akan ditanam dengan rumput. Diberi bahawa P ialah titik tengah AD dan panjang AB adalah dua kali panjang lengkok PQ.
Cari nilai x dan nilai y.
[7 markah]
Jawapan:
$$ \begin{aligned} &A B=2 \times \text { Panjang lengkok } P Q \text { : }\\ &\begin{aligned} & y=2\left(\frac{3}{2} \pi x\right) \\ & y=3 \pi x \ldots .(1) \end{aligned} \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} &\text { Luas kawasan tak berumput: }\\ &6 x y-\frac{1}{4}(3 x)^2(\pi)=(90 x+27) \pi \ldots . .(2) \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} &\text { Ganti (1) ke dalam ②: }\\ &6 x(3 \pi x)-\frac{1}{4}(3 x)^2(\pi)=(90 x+27) \pi \ldots . .(3) \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} &\begin{aligned} & \text { (3) } \times \frac{1}{\pi}: \\ & \begin{aligned} 18 x^2-\frac{9 x^2}{4} & =90 x+27 \\ 21 x^2-120 x-36 & =0 \\ 7 x^2-40 x-12 & =0 \\ (x-6)(7 x+2) & =0 \end{aligned} \end{aligned}\\ &x=6, x=-\frac{2}{7}(\text { Abai } ) \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} &\text { Ganti } x=6 \mathrm{ke} \text { dalam } \text { (1) } \text { : }\\ &\begin{aligned} y & =3 \pi(6) \\ & =18 \pi \text { atau } 56.56 \end{aligned} \end{aligned} $$
Rajah 2 menunjukkan pelan sebuah taman berbentuk segi empat tepat ABCD.
Sebuah kolam berbentuk sukuan bulatan dengan pusat D akan dibina dalam taman itu. Luas yang tinggal, (90x + 27)π meter2, akan ditanam dengan rumput. Diberi bahawa P ialah titik tengah AD dan panjang AB adalah dua kali panjang lengkok PQ.
Cari nilai x dan nilai y.
[7 markah]
Jawapan:
$$ \begin{aligned} &A B=2 \times \text { Panjang lengkok } P Q \text { : }\\ &\begin{aligned} & y=2\left(\frac{3}{2} \pi x\right) \\ & y=3 \pi x \ldots .(1) \end{aligned} \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} &\text { Luas kawasan tak berumput: }\\ &6 x y-\frac{1}{4}(3 x)^2(\pi)=(90 x+27) \pi \ldots . .(2) \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} &\text { Ganti (1) ke dalam ②: }\\ &6 x(3 \pi x)-\frac{1}{4}(3 x)^2(\pi)=(90 x+27) \pi \ldots . .(3) \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} &\begin{aligned} & \text { (3) } \times \frac{1}{\pi}: \\ & \begin{aligned} 18 x^2-\frac{9 x^2}{4} & =90 x+27 \\ 21 x^2-120 x-36 & =0 \\ 7 x^2-40 x-12 & =0 \\ (x-6)(7 x+2) & =0 \end{aligned} \end{aligned}\\ &x=6, x=-\frac{2}{7}(\text { Abai } ) \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} &\text { Ganti } x=6 \mathrm{ke} \text { dalam } \text { (1) } \text { : }\\ &\begin{aligned} y & =3 \pi(6) \\ & =18 \pi \text { atau } 56.56 \end{aligned} \end{aligned} $$
Soalan 6:
(a) $$ \text { Buktikan bahawa kot } \frac{x}{2}-\tan \frac{x}{2}=2 \text { kot } x \text {. } $$
[2 markah]
(b)(i) $$ \text { Seterusnya, lakar graf } y=\left\lvert\, \operatorname{kot} \frac{x}{2}-2\right. \text { kot } x \mid-1 \text { bagi } 0^{\circ} \leqslant x \leqslant 360^{\circ} \text {. } $$
(ii) Tiada penyelesaian diperoleh jika y = m dilakarkan pada paksi-paksi yang sama di 6(b)(i), dengan keadaan m ialah pemalar.
Nyatakan julat nilai m.
[4 markah]
Jawapan:
(a) $$ \begin{aligned} & \operatorname{kot} \frac{x}{2}-\tan \frac{x}{2} \\ & =\frac{1}{\tan \frac{x}{2}}-\tan \frac{x}{2} \\ & =\frac{1-\tan ^2 \frac{x}{2}}{\tan \frac{x}{2}} \\ & =\frac{1}{\left(\frac{\tan \frac{x}{2}}{1-\tan ^2 \frac{x}{2}}\right)} \\ & =\frac{1}{\frac{1}{2} \tan x} \\ & =2 \mathrm{kot} x \end{aligned} $$
(b)(i)
(b)(ii) m < -1
(a) $$ \text { Buktikan bahawa kot } \frac{x}{2}-\tan \frac{x}{2}=2 \text { kot } x \text {. } $$
[2 markah]
(b)(i) $$ \text { Seterusnya, lakar graf } y=\left\lvert\, \operatorname{kot} \frac{x}{2}-2\right. \text { kot } x \mid-1 \text { bagi } 0^{\circ} \leqslant x \leqslant 360^{\circ} \text {. } $$
(ii) Tiada penyelesaian diperoleh jika y = m dilakarkan pada paksi-paksi yang sama di 6(b)(i), dengan keadaan m ialah pemalar.
Nyatakan julat nilai m.
[4 markah]
Jawapan:
(a) $$ \begin{aligned} & \operatorname{kot} \frac{x}{2}-\tan \frac{x}{2} \\ & =\frac{1}{\tan \frac{x}{2}}-\tan \frac{x}{2} \\ & =\frac{1-\tan ^2 \frac{x}{2}}{\tan \frac{x}{2}} \\ & =\frac{1}{\left(\frac{\tan \frac{x}{2}}{1-\tan ^2 \frac{x}{2}}\right)} \\ & =\frac{1}{\frac{1}{2} \tan x} \\ & =2 \mathrm{kot} x \end{aligned} $$
(b)(i)
(b)(ii) m < -1
Soalan 7:
Suatu majlis daerah membina satu kerangka keluli berbentuk parabola untuk menggantung sepanduk. Rajah 3 menunjukkan pandangan hadapan kerangka keluli itu.
Sebuah sepanduk berbentuk segi empat tepat ABCD akan digantung pada titik C dan titik D dengan keadaan CD adalah mengufuk. Tinggi AB dari aras tanah ialah 1 meter. Bucu A dan bucu B akan diikat tegak ke bawah masing-masing pada titik G dan titik H. Diberi bahawa fungsi kecerunan lengkung itu ialah 6 – 2x dan jarak GH ialah 2p meter.
(a)(i) Tunjukkan bahawa jarak EH ialah (3 + p) meter.
Seterusnya, ungkapkan luas, L, bagi sepanduk itu dalam sebutan p.
[6 markah]
(b) Jika kos untuk membuat sepanduk itu ialah RM40 meter2, hitung jumlah kos kepada RM terdekat, untuk membuat sepanduk itu dengan keadaan luasnya adalah maksimum. [4 markah]
Jawapan:
(a)(i) $$ \begin{aligned} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}: 6-2 x & =0 \\ x & =3 \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} E H & =3-p+2 p \\ & =3+p \end{aligned} $$
(a)(ii) $$ \begin{aligned} \int \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x} & =\int 6-2 x \\ y & =6 x-x^2+c \ldots . . (1) \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} &\text { Ganti }(0,0) \text { ke dalam (1) }\\ &\begin{aligned} & 0=6(0)-0^2+c \\ & c=0 \end{aligned}\\ &y=6 x-x^2 \ldots . . \text { (2) } \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} &\text { Ganti } x=3+p \text { ke dalam (2) }\\ &\begin{aligned} y & =6(3+p)-(3+p)^2 \\ & =9-p^2 \end{aligned} \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} Luas, L & =\left(9-p^2-1\right)(2 p) \\ & =16 p-2 p^3 \end{aligned} $$
(b) $$ \begin{aligned} &\text { Luas maksimum: }\\ &\begin{aligned} \frac{\mathrm{d} L}{\mathrm{~d} p} & =0 \\ 16-6 p^2 & =0 \\ p^2 & = \pm \sqrt{\frac{8}{3}} \\ p & =1.633 \end{aligned} \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} \text { Jumlah kos } & =40 \times\left[16(1.633)-2(1.633)^3\right] \\ & =\mathrm{RM} 697 \end{aligned} $$
Suatu majlis daerah membina satu kerangka keluli berbentuk parabola untuk menggantung sepanduk. Rajah 3 menunjukkan pandangan hadapan kerangka keluli itu.
Sebuah sepanduk berbentuk segi empat tepat ABCD akan digantung pada titik C dan titik D dengan keadaan CD adalah mengufuk. Tinggi AB dari aras tanah ialah 1 meter. Bucu A dan bucu B akan diikat tegak ke bawah masing-masing pada titik G dan titik H. Diberi bahawa fungsi kecerunan lengkung itu ialah 6 – 2x dan jarak GH ialah 2p meter.(a)(i) Tunjukkan bahawa jarak EH ialah (3 + p) meter.
Seterusnya, ungkapkan luas, L, bagi sepanduk itu dalam sebutan p.
[6 markah]
(b) Jika kos untuk membuat sepanduk itu ialah RM40 meter2, hitung jumlah kos kepada RM terdekat, untuk membuat sepanduk itu dengan keadaan luasnya adalah maksimum. [4 markah]
Jawapan:
(a)(i) $$ \begin{aligned} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}: 6-2 x & =0 \\ x & =3 \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} E H & =3-p+2 p \\ & =3+p \end{aligned} $$
(a)(ii) $$ \begin{aligned} \int \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x} & =\int 6-2 x \\ y & =6 x-x^2+c \ldots . . (1) \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} &\text { Ganti }(0,0) \text { ke dalam (1) }\\ &\begin{aligned} & 0=6(0)-0^2+c \\ & c=0 \end{aligned}\\ &y=6 x-x^2 \ldots . . \text { (2) } \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} &\text { Ganti } x=3+p \text { ke dalam (2) }\\ &\begin{aligned} y & =6(3+p)-(3+p)^2 \\ & =9-p^2 \end{aligned} \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} Luas, L & =\left(9-p^2-1\right)(2 p) \\ & =16 p-2 p^3 \end{aligned} $$
(b) $$ \begin{aligned} &\text { Luas maksimum: }\\ &\begin{aligned} \frac{\mathrm{d} L}{\mathrm{~d} p} & =0 \\ 16-6 p^2 & =0 \\ p^2 & = \pm \sqrt{\frac{8}{3}} \\ p & =1.633 \end{aligned} \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} \text { Jumlah kos } & =40 \times\left[16(1.633)-2(1.633)^3\right] \\ & =\mathrm{RM} 697 \end{aligned} $$