Soalan 1:
$$ \text { Fungsi } f \text { dan fungsi } g \text { masing-masing ditakrifkan oleh } $$
(a) Tentukan sama ada g-1(x) ialah satu fungsi atau tidak.
Berikan sebab untuk jawapan anda.
[2 markah]
(b) Cari
(i) $$ h(x) \text {, jika } f^{-1} h(x)=g(x) \text {, } $$
(ii) $$ \text { nilai-nilai } x \text {, jika } g f^{-1}(x)=1 \text {. } $$
[5 markah]
Jawapan:
(a) $$ g^{-1}(x)= \pm \sqrt{x+3} $$
Tidak. Fungsi g tidak mempunyai songsangan.
(b)(i) $$ \begin{aligned} h(x) & =f g(x) \\ & =1-2\left(x^2-3\right) \\ & =7-2 x^2 \end{aligned} $$
(b)(ii) $$ \begin{aligned} f^{-1}(x) & =\frac{1-x}{2} \\ \left(\frac{1-x}{2}\right)^2-3 & =1 \\ (1-x)^2 & =16 \\ 1-x & = \pm 4 \\ x & =-3,5 \end{aligned} $$
$$ \text { Fungsi } f \text { dan fungsi } g \text { masing-masing ditakrifkan oleh } $$
(a) Tentukan sama ada g-1(x) ialah satu fungsi atau tidak.
Berikan sebab untuk jawapan anda.
[2 markah]
(b) Cari
(i) $$ h(x) \text {, jika } f^{-1} h(x)=g(x) \text {, } $$
(ii) $$ \text { nilai-nilai } x \text {, jika } g f^{-1}(x)=1 \text {. } $$
[5 markah]
Jawapan:
(a) $$ g^{-1}(x)= \pm \sqrt{x+3} $$
Tidak. Fungsi g tidak mempunyai songsangan.
(b)(i) $$ \begin{aligned} h(x) & =f g(x) \\ & =1-2\left(x^2-3\right) \\ & =7-2 x^2 \end{aligned} $$
(b)(ii) $$ \begin{aligned} f^{-1}(x) & =\frac{1-x}{2} \\ \left(\frac{1-x}{2}\right)^2-3 & =1 \\ (1-x)^2 & =16 \\ 1-x & = \pm 4 \\ x & =-3,5 \end{aligned} $$
Soalan 2:
Penyelesaian secara lukisan berskala tidak diterima.
Rajah 1 menunjukkan dua garis lurus. Persamaan garis lurus RS ialah y + 2x + 3 = 0.
(a) Cari
(i) persamaan garis lurus PQ,
(ii) koordinat Q.
[5 markah]
(b) Garis lurus PQ dipanjangkan ke titik T, dengan keadaan PQ : QT = 3 : 2.
Cari koordinat T.
[2 markah]
Jawapan:
(a)(i) $$ \begin{aligned} &\begin{aligned} -2 m & =-1 \\ m & =\frac{1}{2} \end{aligned}\\ &\begin{aligned} y-(-2) & =\frac{1}{2}(x+8) \\ y & =\frac{1}{2} x+2 \end{aligned} \end{aligned} $$
(a)(ii) $$ \begin{aligned} &\begin{aligned} \frac{1}{2} x+2 & =-2 x-3 \\ \frac{5}{2} x & =-5 \\ x & =-2 \end{aligned}\\ &\begin{aligned} y & =-2(-2)-3 \\ & =1 \end{aligned}\\ &\therefore Q(-2,1) \end{aligned} $$
(b) $$ (-2,1)=\left[\frac{2(-8)+3(x)}{2+3}, \frac{2(-2)+3(y)}{2+3}\right] $$
$$ \begin{aligned} &\begin{aligned} \frac{-16+3 x}{5} & =-2 \\ x & =2 \end{aligned}\\ &\begin{aligned} \frac{-4+3 y}{5} & =1 \\ y & =3 \end{aligned}\\ &\therefore T(2,3) \end{aligned} $$
Penyelesaian secara lukisan berskala tidak diterima.
Rajah 1 menunjukkan dua garis lurus. Persamaan garis lurus RS ialah y + 2x + 3 = 0.
(a) Cari (i) persamaan garis lurus PQ,
(ii) koordinat Q.
[5 markah]
(b) Garis lurus PQ dipanjangkan ke titik T, dengan keadaan PQ : QT = 3 : 2.
Cari koordinat T.
[2 markah]
Jawapan:
(a)(i) $$ \begin{aligned} &\begin{aligned} -2 m & =-1 \\ m & =\frac{1}{2} \end{aligned}\\ &\begin{aligned} y-(-2) & =\frac{1}{2}(x+8) \\ y & =\frac{1}{2} x+2 \end{aligned} \end{aligned} $$
(a)(ii) $$ \begin{aligned} &\begin{aligned} \frac{1}{2} x+2 & =-2 x-3 \\ \frac{5}{2} x & =-5 \\ x & =-2 \end{aligned}\\ &\begin{aligned} y & =-2(-2)-3 \\ & =1 \end{aligned}\\ &\therefore Q(-2,1) \end{aligned} $$
(b) $$ (-2,1)=\left[\frac{2(-8)+3(x)}{2+3}, \frac{2(-2)+3(y)}{2+3}\right] $$
$$ \begin{aligned} &\begin{aligned} \frac{-16+3 x}{5} & =-2 \\ x & =2 \end{aligned}\\ &\begin{aligned} \frac{-4+3 y}{5} & =1 \\ y & =3 \end{aligned}\\ &\therefore T(2,3) \end{aligned} $$
Soalan 3:
Suatu fungsi kuadratik diberi oleh f(x) = 2x2 – 5x + p, dengan keadaan p ialah pemalar.
(a) Punca-punca bagi persamaan kuadratik apabila f(x) = 0 ialah α dan β.
Bentukkan satu persamaan kuadratik yang mempunyai punca-punca 2α – 1 dan 2β – 1 dalam sebutan p.
[3 markah]
(b) Diberi bahawa garis lurus y = x + 1 menyentuh lengkung y = f(x), cari nilai p. [3 markah]
Jawapan:
(a) $$ \begin{aligned} & \frac{5}{2}=\alpha+\beta \\ & \frac{p}{2}=\alpha \beta \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} 2 \alpha-1+2 \beta-1 & =2(\alpha+\beta)-2 \\ & =2\left(\frac{5}{2}\right)-2 \\ & =3 \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} (2 \alpha-1)(2 \beta-1) & =4 \alpha \beta-2(\alpha+\beta)+1 \\ & =4\left(\frac{p}{2}\right)-2\left(\frac{5}{2}\right)+1 \\ & =2 p-4 \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} x^2-(3) x+(2 p-4) & =0 \\ x^2-3 x+2 p-4 & =0 \end{aligned} $$
(b) $$ \begin{aligned} &\begin{aligned} 2 x^2-5 x+p & =x+1 \\ 2 x^2-6 x+p-1 & =0 \end{aligned}\\ &\begin{aligned} (-6)^2-4(2)(p-1) & =0 \\ 36-8 p+8 & =0 \\ p & =\frac{44}{8} \\ p & =\frac{11}{2} \end{aligned} \end{aligned} $$
Suatu fungsi kuadratik diberi oleh f(x) = 2x2 – 5x + p, dengan keadaan p ialah pemalar.
(a) Punca-punca bagi persamaan kuadratik apabila f(x) = 0 ialah α dan β.
Bentukkan satu persamaan kuadratik yang mempunyai punca-punca 2α – 1 dan 2β – 1 dalam sebutan p.
[3 markah]
(b) Diberi bahawa garis lurus y = x + 1 menyentuh lengkung y = f(x), cari nilai p. [3 markah]
Jawapan:
(a) $$ \begin{aligned} & \frac{5}{2}=\alpha+\beta \\ & \frac{p}{2}=\alpha \beta \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} 2 \alpha-1+2 \beta-1 & =2(\alpha+\beta)-2 \\ & =2\left(\frac{5}{2}\right)-2 \\ & =3 \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} (2 \alpha-1)(2 \beta-1) & =4 \alpha \beta-2(\alpha+\beta)+1 \\ & =4\left(\frac{p}{2}\right)-2\left(\frac{5}{2}\right)+1 \\ & =2 p-4 \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} x^2-(3) x+(2 p-4) & =0 \\ x^2-3 x+2 p-4 & =0 \end{aligned} $$
(b) $$ \begin{aligned} &\begin{aligned} 2 x^2-5 x+p & =x+1 \\ 2 x^2-6 x+p-1 & =0 \end{aligned}\\ &\begin{aligned} (-6)^2-4(2)(p-1) & =0 \\ 36-8 p+8 & =0 \\ p & =\frac{44}{8} \\ p & =\frac{11}{2} \end{aligned} \end{aligned} $$
Soalan 4:
Dalam suatu janjang geometri, hasil tambah bagi empat sebutan pertama ialah 16 kali hasil tambah bagi empat sebutan yang berikutnya.
(a) Tunjukkan bahawa nisbah sepunya, r, bagi janjang itu ialah ½. [3 markah]
(b) Diberi bahawa beza antara sebutan ke-4 dan sebutan ke-8 janjang itu ialah 120.
Cari
(i) sebutan pertama janjang itu,
(ii) hasil tambah hingga ketakterhinggaan janjang itu.
[4 markah]
Jawapan:
(a) $$ S_4=16\left(S_8-S_4\right) $$
$$ \begin{aligned} \frac{a\left(r^4-1\right)}{r-1} & =16\left[\frac{a\left(r^8-1\right)}{r-1}-\frac{a\left(r^4-1\right)}{r-1}\right] \\ {\left[\frac{a\left(r^4-1\right)}{r-1}\right] \times \frac{(r-1)}{a} } & =16\left[\frac{a\left(r^8-1\right)}{r-1}-\frac{a\left(r^4-1\right)}{r-1}\right] \times \frac{(r-1)}{a} \\ r^4-1 & =16 r^8-16 r^4 \\ r^4-1 & =16 r^8-16 r^4 \\ 16 r^8-17 r^4+1 & =0 \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} &\text { Katakan } x=r^4 \text {, }\\ &\begin{aligned} & 16 x^2-17 x+1=0 \\ & (x-1)(16 x-1)=0 \\ & x=r^4=1 \\ & \quad r= \pm 1 \text { (Mustahil) } \end{aligned} \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} x=r^4 & =\frac{1}{16} \\ r & = \pm \frac{1}{2}(\text { Abai negatif }) \\ r & =\frac{1}{2} \end{aligned} $$
(b)(i) $$ \begin{aligned} T_8-T_4 & =120 \\ a r^7-a r^3 & =120 \\ a\left(\frac{1}{2}\right)^7-a\left(\frac{1}{2}\right)^3 & =120 \\ \frac{-15}{128} a & =120 \\ a & =\frac{120}{-\frac{15}{128}} \\ a & =-1024 \end{aligned} $$
(b)(ii) $$ \begin{aligned} S_{\infty} & =\frac{-1024}{1-\left(\frac{1}{2}\right)} \\ & =-2048 \end{aligned} $$
Dalam suatu janjang geometri, hasil tambah bagi empat sebutan pertama ialah 16 kali hasil tambah bagi empat sebutan yang berikutnya.
(a) Tunjukkan bahawa nisbah sepunya, r, bagi janjang itu ialah ½. [3 markah]
(b) Diberi bahawa beza antara sebutan ke-4 dan sebutan ke-8 janjang itu ialah 120.
Cari
(i) sebutan pertama janjang itu,
(ii) hasil tambah hingga ketakterhinggaan janjang itu.
[4 markah]
Jawapan:
(a) $$ S_4=16\left(S_8-S_4\right) $$
$$ \begin{aligned} \frac{a\left(r^4-1\right)}{r-1} & =16\left[\frac{a\left(r^8-1\right)}{r-1}-\frac{a\left(r^4-1\right)}{r-1}\right] \\ {\left[\frac{a\left(r^4-1\right)}{r-1}\right] \times \frac{(r-1)}{a} } & =16\left[\frac{a\left(r^8-1\right)}{r-1}-\frac{a\left(r^4-1\right)}{r-1}\right] \times \frac{(r-1)}{a} \\ r^4-1 & =16 r^8-16 r^4 \\ r^4-1 & =16 r^8-16 r^4 \\ 16 r^8-17 r^4+1 & =0 \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} &\text { Katakan } x=r^4 \text {, }\\ &\begin{aligned} & 16 x^2-17 x+1=0 \\ & (x-1)(16 x-1)=0 \\ & x=r^4=1 \\ & \quad r= \pm 1 \text { (Mustahil) } \end{aligned} \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} x=r^4 & =\frac{1}{16} \\ r & = \pm \frac{1}{2}(\text { Abai negatif }) \\ r & =\frac{1}{2} \end{aligned} $$
(b)(i) $$ \begin{aligned} T_8-T_4 & =120 \\ a r^7-a r^3 & =120 \\ a\left(\frac{1}{2}\right)^7-a\left(\frac{1}{2}\right)^3 & =120 \\ \frac{-15}{128} a & =120 \\ a & =\frac{120}{-\frac{15}{128}} \\ a & =-1024 \end{aligned} $$
(b)(ii) $$ \begin{aligned} S_{\infty} & =\frac{-1024}{1-\left(\frac{1}{2}\right)} \\ & =-2048 \end{aligned} $$