Soalan 10:
(a) Tentukan bilangan cara berlainan untuk menyusun 7 huruf daripada perkataan ‘SEMPURNA’ dalam satu baris tanpa ulangan. [1 markah]
(b) Suatu nombor empat digit hendak dibentuk dengan menggunakan digit-digit 1, 2, 3, 4, 5 dan 6, dengan keadaan ulangan digit 1,2,3,4 dan 5 tidak dibenarkan.
Cari bilangan cara berlainan nombor empat digit itu boleh dibentuk.
[3 markah]
Jawapan:
(a) $$ \begin{aligned} \text { Bilangan cara } & ={ }^8 P_7 \\ & =40320 \end{aligned} $$
(b) $$ \begin{aligned} & \text { Kes 1: Tiada ulangan }\\ &{ }^6 P_4=360 \end{aligned} $$
Kes 2: Ulang digit 6 dua kali (6, 6)
$$ { }^4 C_2 \times{ }^5 P_2=120 $$
Kes 3: Ulang digit 6 tiga kali (6, 6, 6)
$$ { }^4 C_3 \times{ }^5 P_1=20 $$
$$ \begin{aligned} & \text { Kes 4: Semua digit } 6 \text { (6, 6, 6, 6) }\\ &{ }^4 C_4=1 \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} \text { Jumlah bilangan cara } & =360+120+20+1 \\ & =501 \end{aligned} $$
(a) Tentukan bilangan cara berlainan untuk menyusun 7 huruf daripada perkataan ‘SEMPURNA’ dalam satu baris tanpa ulangan. [1 markah]
(b) Suatu nombor empat digit hendak dibentuk dengan menggunakan digit-digit 1, 2, 3, 4, 5 dan 6, dengan keadaan ulangan digit 1,2,3,4 dan 5 tidak dibenarkan.
Cari bilangan cara berlainan nombor empat digit itu boleh dibentuk.
[3 markah]
Jawapan:
(a) $$ \begin{aligned} \text { Bilangan cara } & ={ }^8 P_7 \\ & =40320 \end{aligned} $$
(b) $$ \begin{aligned} & \text { Kes 1: Tiada ulangan }\\ &{ }^6 P_4=360 \end{aligned} $$
Kes 2: Ulang digit 6 dua kali (6, 6)
$$ { }^4 C_2 \times{ }^5 P_2=120 $$
Kes 3: Ulang digit 6 tiga kali (6, 6, 6)
$$ { }^4 C_3 \times{ }^5 P_1=20 $$
$$ \begin{aligned} & \text { Kes 4: Semua digit } 6 \text { (6, 6, 6, 6) }\\ &{ }^4 C_4=1 \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} \text { Jumlah bilangan cara } & =360+120+20+1 \\ & =501 \end{aligned} $$
Soalan 11:
Seramai 25 orang murid hadir dalam mesyuarat agung Persatuan STEM.
(a) Cari bilangan cara berbeza untuk memilih 4 orang murid bagi memimpin jawatankuasa. [1 markah]
(b) Setelah pemimpin dipilih, baki bilangan murid lelaki kepada bilangan murid perempuan adalah dalam nisbah 4 : 3. Seorang murid lelaki bernama Zam dan seorang murid perempuan bernama Min adalah dalam kalangan mereka.
Cari bilangan cara berbeza 5 orang ahli jawatankuasa boleh dipilih, dengan keadaan bilangan murid lelaki melebihi bilangan murid perempuan dan mesti termasuk Zam atau Min.
[3 markah]
Jawapan:
(a) $$ \begin{aligned} \text { Bilangan cara } & ={ }^{25} C_4 \\ & =12650 \end{aligned} $$
(b) $$ \begin{aligned} &\text { Baki bilangan murid }\\ &\begin{aligned} & =25-4 \\ & =21 \end{aligned} \end{aligned} $$
$$ B>G \rightarrow 3 B+2 G \text { atau } 4 B+1 G $$
3B + 2G
$$ \text { Kes } 1 \text { :Termasuk Zam sahaja → Zam }+2 B+2 G $$
$$ \text { Kes } 2 \text { :Termasuk Min sahaja } \text { → } \text { Min }+3 B+1 G $$
$$ \text { Kes } 3 \text { :Termasuk Zam dan Min → Zam }+ \text { Min }+2 B+1 G $$
$$ \begin{aligned} \text { Bilangan cara }= & \left({ }^1 C_1 \times{ }^{11} C_2 \times{ }^9 C_2\right)+ \\ & \left({ }^1 C_1 \times{ }^{12} C_3 \times{ }^8 C_1\right)+ \\ & \left({ }^1 C_1 \times{ }^1 C_1 \times{ }^{11} C_2 \times{ }^8 C_1\right) \\ = & 1980+1760+440 \\ = & 4180 \end{aligned} $$
4B + 1G
$$ \text { Kes } 1 \text { :Termasuk Zam sahaja → Zam }+3 B+1 G $$
$$ \text { Kes } 2 \text { :Termasuk Min sahaja ⟶ Min + } 4 B $$
$$ \text { Kes } 3 \text { :Termasuk Zam dan Min → Zam + Min + 3B } $$
$$ \begin{aligned} \text { Bilangan cara }= & \left({ }^1 C_1 \times{ }^{11} C_3 \times{ }^9 C_1\right)+ \\ & \left({ }^1 C_1 \times{ }^{12} C_4\right)+ \\ & \left({ }^1 C_1 \times{ }^1 C_1 \times{ }^{11} C_3\right) \\ = & 1485+495+165 \\ = & 2145 \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} \text { Jumlah bilangan cara } & =4180+2145 \\ & =6325 \end{aligned} $$
Seramai 25 orang murid hadir dalam mesyuarat agung Persatuan STEM.
(a) Cari bilangan cara berbeza untuk memilih 4 orang murid bagi memimpin jawatankuasa. [1 markah]
(b) Setelah pemimpin dipilih, baki bilangan murid lelaki kepada bilangan murid perempuan adalah dalam nisbah 4 : 3. Seorang murid lelaki bernama Zam dan seorang murid perempuan bernama Min adalah dalam kalangan mereka.
Cari bilangan cara berbeza 5 orang ahli jawatankuasa boleh dipilih, dengan keadaan bilangan murid lelaki melebihi bilangan murid perempuan dan mesti termasuk Zam atau Min.
[3 markah]
Jawapan:
(a) $$ \begin{aligned} \text { Bilangan cara } & ={ }^{25} C_4 \\ & =12650 \end{aligned} $$
(b) $$ \begin{aligned} &\text { Baki bilangan murid }\\ &\begin{aligned} & =25-4 \\ & =21 \end{aligned} \end{aligned} $$
$$ B>G \rightarrow 3 B+2 G \text { atau } 4 B+1 G $$
3B + 2G
$$ \text { Kes } 1 \text { :Termasuk Zam sahaja → Zam }+2 B+2 G $$
$$ \text { Kes } 2 \text { :Termasuk Min sahaja } \text { → } \text { Min }+3 B+1 G $$
$$ \text { Kes } 3 \text { :Termasuk Zam dan Min → Zam }+ \text { Min }+2 B+1 G $$
$$ \begin{aligned} \text { Bilangan cara }= & \left({ }^1 C_1 \times{ }^{11} C_2 \times{ }^9 C_2\right)+ \\ & \left({ }^1 C_1 \times{ }^{12} C_3 \times{ }^8 C_1\right)+ \\ & \left({ }^1 C_1 \times{ }^1 C_1 \times{ }^{11} C_2 \times{ }^8 C_1\right) \\ = & 1980+1760+440 \\ = & 4180 \end{aligned} $$
4B + 1G
$$ \text { Kes } 1 \text { :Termasuk Zam sahaja → Zam }+3 B+1 G $$
$$ \text { Kes } 2 \text { :Termasuk Min sahaja ⟶ Min + } 4 B $$
$$ \text { Kes } 3 \text { :Termasuk Zam dan Min → Zam + Min + 3B } $$
$$ \begin{aligned} \text { Bilangan cara }= & \left({ }^1 C_1 \times{ }^{11} C_3 \times{ }^9 C_1\right)+ \\ & \left({ }^1 C_1 \times{ }^{12} C_4\right)+ \\ & \left({ }^1 C_1 \times{ }^1 C_1 \times{ }^{11} C_3\right) \\ = & 1485+495+165 \\ = & 2145 \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} \text { Jumlah bilangan cara } & =4180+2145 \\ & =6325 \end{aligned} $$