Soalan 9:
Rajah 9 menunjukkan graf taburan normal bagi masa yang diambil, dalam minit, oleh sekumpulan murid untuk menjawab satu ujian dengan X ~ N(32, 36).
(i) Seorang murid dipilih secara rawak dari kumpulan itu. Pada Rajah 9, lorek kawasan yang mewakili kebarangkalian murid itu menjawab ujian dalam masa selebih-lebihnya 35 minit.
Seterusnya, cari kebarangkalian itu.
(ii) Diberi bahawa 12% orang murid menjawab ujian itu dalam masa kurang daripada t minit, cari nilai t.
[7 markah]
(b) Satu kuiz mengandungi 6 soalan aneka pilihan. Setiap soalan mempunyai markah yang sama dan mempunyai 3 pilihan jawapan dengan keadaan hanya satu jawapan sahaja yang betul. Murid perlu mendapat skor lebih daripada 70% untuk mendapatkan hadiah.
Jika seorang murid meneka kesemua jawapan itu secara rawak, cari kebarangkalian bahawa murid itu tidak mendapat hadiah.
[3 markah]
Jawapan:
(a)(i)
$$ \begin{aligned} & P(X \leqslant 35)=P\left(Z \leqslant \frac{35-32}{\sqrt{36}}\right) \\ & P(X \leqslant 35)=P(Z \leqslant 0.5) \\ & P(X \leqslant 35)=1-P(Z \geqslant 0.5) \\ & P(X \leqslant 35)=1-0.3085 \\ & P(X \leqslant 35)=0.6915 \end{aligned} $$
(a)(ii)
$$ \begin{aligned} P(X<t) & =0.12 \\ P\left(Z<\frac{t-32}{\sqrt{36}}\right) & =0.12 \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} \frac{t-32}{6} & =-1.175 \\ t-32 & =-7.05 \\ t & =24.95 \text { minit } \end{aligned} $$
(b)
$$ \begin{aligned} & X \sim B\left(6, \frac{1}{3}\right) \\ & \begin{aligned} 70 \% & =\frac{70}{100} \times 6 \text { soalan } \\ & =4.2 \text { soalan } \end{aligned} \end{aligned} $$
Untuk mendapatkan hadiah, murid perlu menjawab sekurangkurangnya 5 soalan betul.
$$ \begin{aligned} P(\text { tiada hadiah } ) & =1-P(X \geqslant 5) \\ & =1-P(X=5)-P(X=6) \\ & =1-{ }^6 C_5\left(\frac{1}{3}\right)^5\left(\frac{2}{3}\right)^1-{ }^6 C_6\left(\frac{1}{3}\right)^6\left(\frac{2}{3}\right)^0 \\ & =1-0.01783 \\ & =0.98217 \end{aligned} $$
Rajah 9 menunjukkan graf taburan normal bagi masa yang diambil, dalam minit, oleh sekumpulan murid untuk menjawab satu ujian dengan X ~ N(32, 36).
(i) Seorang murid dipilih secara rawak dari kumpulan itu. Pada Rajah 9, lorek kawasan yang mewakili kebarangkalian murid itu menjawab ujian dalam masa selebih-lebihnya 35 minit.
Seterusnya, cari kebarangkalian itu.
(ii) Diberi bahawa 12% orang murid menjawab ujian itu dalam masa kurang daripada t minit, cari nilai t.
[7 markah]
(b) Satu kuiz mengandungi 6 soalan aneka pilihan. Setiap soalan mempunyai markah yang sama dan mempunyai 3 pilihan jawapan dengan keadaan hanya satu jawapan sahaja yang betul. Murid perlu mendapat skor lebih daripada 70% untuk mendapatkan hadiah.
Jika seorang murid meneka kesemua jawapan itu secara rawak, cari kebarangkalian bahawa murid itu tidak mendapat hadiah.
[3 markah]
Jawapan:
(a)(i)
$$ \begin{aligned} & P(X \leqslant 35)=P\left(Z \leqslant \frac{35-32}{\sqrt{36}}\right) \\ & P(X \leqslant 35)=P(Z \leqslant 0.5) \\ & P(X \leqslant 35)=1-P(Z \geqslant 0.5) \\ & P(X \leqslant 35)=1-0.3085 \\ & P(X \leqslant 35)=0.6915 \end{aligned} $$
(a)(ii)
$$ \begin{aligned} P(X<t) & =0.12 \\ P\left(Z<\frac{t-32}{\sqrt{36}}\right) & =0.12 \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} \frac{t-32}{6} & =-1.175 \\ t-32 & =-7.05 \\ t & =24.95 \text { minit } \end{aligned} $$
(b)
$$ \begin{aligned} & X \sim B\left(6, \frac{1}{3}\right) \\ & \begin{aligned} 70 \% & =\frac{70}{100} \times 6 \text { soalan } \\ & =4.2 \text { soalan } \end{aligned} \end{aligned} $$
Untuk mendapatkan hadiah, murid perlu menjawab sekurangkurangnya 5 soalan betul.
$$ \begin{aligned} P(\text { tiada hadiah } ) & =1-P(X \geqslant 5) \\ & =1-P(X=5)-P(X=6) \\ & =1-{ }^6 C_5\left(\frac{1}{3}\right)^5\left(\frac{2}{3}\right)^1-{ }^6 C_6\left(\frac{1}{3}\right)^6\left(\frac{2}{3}\right)^0 \\ & =1-0.01783 \\ & =0.98217 \end{aligned} $$