Soalan 9:
Rajah 9 menunjukkan graf taburan normal bagi masa yang diambil, dalam minit, oleh sekumpulan murid untuk menjawab satu ujian dengan X ~ N(32, 36).
(i) Seorang murid dipilih secara rawak dari kumpulan itu. Pada Rajah 9, lorek kawasan yang mewakili kebarangkalian murid itu menjawab ujian dalam masa selebih-lebihnya 35 minit.
Seterusnya, cari kebarangkalian itu.
(ii) Diberi bahawa 12% orang murid menjawab ujian itu dalam masa kurang daripada t minit, cari nilai t.
[7 markah]
(b) Satu kuiz mengandungi 6 soalan aneka pilihan. Setiap soalan mempunyai markah yang sama dan mempunyai 3 pilihan jawapan dengan keadaan hanya satu jawapan sahaja yang betul. Murid perlu mendapat skor lebih daripada 70% untuk mendapatkan hadiah.
Jika seorang murid meneka kesemua jawapan itu secara rawak, cari kebarangkalian bahawa murid itu tidak mendapat hadiah.
[3 markah]
Jawapan:
(a)(i)
$$ \begin{aligned} & P(X \leqslant 35)=P\left(Z \leqslant \frac{35-32}{\sqrt{36}}\right) \\ & P(X \leqslant 35)=P(Z \leqslant 0.5) \\ & P(X \leqslant 35)=1-P(Z \geqslant 0.5) \\ & P(X \leqslant 35)=1-0.3085 \\ & P(X \leqslant 35)=0.6915 \end{aligned} $$
(a)(ii)
$$ \begin{aligned} P(X<t) & =0.12 \\ P\left(Z<\frac{t-32}{\sqrt{36}}\right) & =0.12 \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} \frac{t-32}{6} & =-1.175 \\ t-32 & =-7.05 \\ t & =24.95 \text { minit } \end{aligned} $$
(b)
$$ \begin{aligned} & X \sim B\left(6, \frac{1}{3}\right) \\ & \begin{aligned} 70 \% & =\frac{70}{100} \times 6 \text { soalan } \\ & =4.2 \text { soalan } \end{aligned} \end{aligned} $$
Untuk mendapatkan hadiah, murid perlu menjawab sekurangkurangnya 5 soalan betul.
$$ \begin{aligned} P(\text { tiada hadiah } ) & =1-P(X \geqslant 5) \\ & =1-P(X=5)-P(X=6) \\ & =1-{ }^6 C_5\left(\frac{1}{3}\right)^5\left(\frac{2}{3}\right)^1-{ }^6 C_6\left(\frac{1}{3}\right)^6\left(\frac{2}{3}\right)^0 \\ & =1-0.01783 \\ & =0.98217 \end{aligned} $$
Rajah 9 menunjukkan graf taburan normal bagi masa yang diambil, dalam minit, oleh sekumpulan murid untuk menjawab satu ujian dengan X ~ N(32, 36).
(i) Seorang murid dipilih secara rawak dari kumpulan itu. Pada Rajah 9, lorek kawasan yang mewakili kebarangkalian murid itu menjawab ujian dalam masa selebih-lebihnya 35 minit.
Seterusnya, cari kebarangkalian itu.
(ii) Diberi bahawa 12% orang murid menjawab ujian itu dalam masa kurang daripada t minit, cari nilai t.
[7 markah]
(b) Satu kuiz mengandungi 6 soalan aneka pilihan. Setiap soalan mempunyai markah yang sama dan mempunyai 3 pilihan jawapan dengan keadaan hanya satu jawapan sahaja yang betul. Murid perlu mendapat skor lebih daripada 70% untuk mendapatkan hadiah.
Jika seorang murid meneka kesemua jawapan itu secara rawak, cari kebarangkalian bahawa murid itu tidak mendapat hadiah.
[3 markah]
Jawapan:
(a)(i)
$$ \begin{aligned} & P(X \leqslant 35)=P\left(Z \leqslant \frac{35-32}{\sqrt{36}}\right) \\ & P(X \leqslant 35)=P(Z \leqslant 0.5) \\ & P(X \leqslant 35)=1-P(Z \geqslant 0.5) \\ & P(X \leqslant 35)=1-0.3085 \\ & P(X \leqslant 35)=0.6915 \end{aligned} $$
(a)(ii)
$$ \begin{aligned} P(X<t) & =0.12 \\ P\left(Z<\frac{t-32}{\sqrt{36}}\right) & =0.12 \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} \frac{t-32}{6} & =-1.175 \\ t-32 & =-7.05 \\ t & =24.95 \text { minit } \end{aligned} $$
(b)
$$ \begin{aligned} & X \sim B\left(6, \frac{1}{3}\right) \\ & \begin{aligned} 70 \% & =\frac{70}{100} \times 6 \text { soalan } \\ & =4.2 \text { soalan } \end{aligned} \end{aligned} $$
Untuk mendapatkan hadiah, murid perlu menjawab sekurangkurangnya 5 soalan betul.
$$ \begin{aligned} P(\text { tiada hadiah } ) & =1-P(X \geqslant 5) \\ & =1-P(X=5)-P(X=6) \\ & =1-{ }^6 C_5\left(\frac{1}{3}\right)^5\left(\frac{2}{3}\right)^1-{ }^6 C_6\left(\frac{1}{3}\right)^6\left(\frac{2}{3}\right)^0 \\ & =1-0.01783 \\ & =0.98217 \end{aligned} $$
Soalan 10:
Jadual 10.1 menunjukkan nilai-nilai bagi dua pemboleh ubah, x dan y, yang diperoleh daripada satu eksperimen. Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan y = 2/a x3 + bx, dengan keadaan a dan b ialah pemalar.
(a) Berdasarkan Jadual 10.1, isi Jadual 10.2 pada halaman 143 bagi nilai-nilai x2 dan y/x. [2 markah]
(b) Plot y/x melawan x2, menggunakan skala 2 cm kepada 5 unit pada kedua-dua paksi.
Seterusnya, lukis garis lurus penyuaian terbaik. [3 markah]
(c)(i) Tukarkan y = 2/a x3 + bx dalam bentuk linear.
(ii) Seterusnya, dengan menggunakan graf di (b), cari
(a) nilai a dan nilai b,
(b) nilai y yang betul jika satu daripada nilai-nilai y telah tersalah catat semasa eksperimen.
[5 markah]
Jawapan:
(a)
(b)
(c)(i)
$$ \begin{aligned} & {\left[y=\frac{2}{a} x^3+b x\right] \div x} \\ & \frac{y}{x}=\frac{2}{a} x^2+b \\ & Y=m X+c \end{aligned} $$
(c)(ii)(a)
$$ \begin{aligned} &\begin{aligned} b & =c \\ & =7 \end{aligned}\\ &\begin{aligned} \frac{2}{a} & =m \\ \frac{2}{a} & =\frac{31-15}{21-7} \\ \frac{2}{a} & =\frac{8}{7} \\ 8 a & =14 \\ a & =\frac{7}{4} \end{aligned} \end{aligned} $$
(c)(ii)(b)
$$ \begin{aligned} \text { Pada } x^2 & =9.99 \\ x & =\sqrt{9.99} \\ x & =3.16 \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} \frac{y}{x} & =18.5 \\ \frac{y}{3.16} & =18.5 \\ y & =58.46 \end{aligned} $$
Jadual 10.1 menunjukkan nilai-nilai bagi dua pemboleh ubah, x dan y, yang diperoleh daripada satu eksperimen. Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan y = 2/a x3 + bx, dengan keadaan a dan b ialah pemalar.
(a) Berdasarkan Jadual 10.1, isi Jadual 10.2 pada halaman 143 bagi nilai-nilai x2 dan y/x. [2 markah]
(b) Plot y/x melawan x2, menggunakan skala 2 cm kepada 5 unit pada kedua-dua paksi.
Seterusnya, lukis garis lurus penyuaian terbaik. [3 markah]
(c)(i) Tukarkan y = 2/a x3 + bx dalam bentuk linear.
(ii) Seterusnya, dengan menggunakan graf di (b), cari
(a) nilai a dan nilai b,
(b) nilai y yang betul jika satu daripada nilai-nilai y telah tersalah catat semasa eksperimen.
[5 markah]
Jawapan:
(a)
(b)
(c)(i)
$$ \begin{aligned} & {\left[y=\frac{2}{a} x^3+b x\right] \div x} \\ & \frac{y}{x}=\frac{2}{a} x^2+b \\ & Y=m X+c \end{aligned} $$
(c)(ii)(a)
$$ \begin{aligned} &\begin{aligned} b & =c \\ & =7 \end{aligned}\\ &\begin{aligned} \frac{2}{a} & =m \\ \frac{2}{a} & =\frac{31-15}{21-7} \\ \frac{2}{a} & =\frac{8}{7} \\ 8 a & =14 \\ a & =\frac{7}{4} \end{aligned} \end{aligned} $$
(c)(ii)(b)
$$ \begin{aligned} \text { Pada } x^2 & =9.99 \\ x & =\sqrt{9.99} \\ x & =3.16 \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} \frac{y}{x} & =18.5 \\ \frac{y}{3.16} & =18.5 \\ y & =58.46 \end{aligned} $$