Matematik Tambahan SPM 2017, Kertas 2 (Soalan 5)

Soalan 5 (7 markah):
Penyelesaian secara lukisan berskala tidak diterima.
Rajah 3 menunjukkan kedudukan bagi bandar M dan bandar N yang dilukis pada suatu satah Cartes.

 

PQ ialah jalan raya lurus dengan keadaan jarak dari bandar M dan bandar N ke mana-mana titik pada jalan raya adalah sentiasa sama.
(a) Cari persamaan bagi PQ.

(b) Satu lagi jalan raya lurus, ST dengan persamaan y = 2x + 7 akan dibina.
(i) Lampu isyarat akan dipasang di persimpangan kedua-dua jalan raya itu.
Cari koordinat bagi lampu isyarat itu.
(ii) Antara dua jalan raya itu, yang manakah melalui bandar L  $\left(-\frac{4}{3},1\right)?$

Penyelesaian: 
(a)

$\begin{array}{l}T\left(x,y\right)\text{ adalah satu titik pada }PQ.\\ TM=TN\\ \sqrt{\left[x-{\left(-4\right)}^2\right]+{\left[y-\left(-1\right)\right]}^2}=\sqrt{{\left(x-2\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2}\\ \sqrt{{\left(x+4\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2}=\sqrt{{\left(x-2\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2}\\ {\left(x+4\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2={\left(x-2\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2\\ x^2+8x+16+y^2+2y+1\\ =x^2-4x+4+y^2-2y+1\\ 8x+2y+17+4x+2y-5=0\\ 12x+4y+12=0\\ 3x+y+3=0\\ \\ \text{Persamaan }PQ:3x+y+3=0\end{array}$

(b)(i)

$\begin{array}{l}y=2x+7\mathrm{\dots \dots \dots \dots }\left(1\right)\\ 3x+y+3=0\mathrm{\dots \dots \dots \dots }\left(2\right)\\ \text{Gantikan }\left(1\right)\text{ ke dalam }\left(2\right):\\ 3x+2x+7+3=0\\ 5x=-10\\ x=-2\\ \\ \text{Apabila }x=-2,\\ Dari\left(1\right),\\ y=2\left(-2\right)+7=3\\ \text{Koordinat bagi lampu isyarat}=\left(-2,3\right).\end{array}$

 

(b)(ii)

$\begin{array}{l}L\left(-\frac{4}{3},1\right):x=-\frac{4}{3},y=1\\ \text{Persamaan }ST:y=2x+7\\ \text{Sebelah kiri: }y=1\\ \text{Sebelah kanan: }2\left(-\frac{4}{3}\right)+7=4\frac{1}{3}\\ \text{Oleh itu, jalan raya }y=2x+7\text{ tidak }\\ \text{melalui }L\text{.}\\ \\ \text{Persamaan }PQ:3x+y+3=0\\ \text{Sebelah kiri: }\\ 3x+y+3=3\left(-\frac{4}{3}\right)+1+3\\ =-4+4=0\\ \text{Sebelah kanan}=0\\ \text{Sebelah kiri}=\text{Sebelah kanan}\\ \\ \text{Oleh itu, jalan raya }3x+y+3=0\\ \text{melalui }L\text{.}\end{array}$