Soalan 2:
Ungkapkan 2n + 2 – 2n + 1 + 2n – 1 dalam bentuk p(2n – 1), dengan keadaan p ialah pemalar.
Seterusnya, selesaikan persamaan 8(2n + 2 – 2n + 1 + 2n – 1) = \(5{(2^{n^2})}\).
[6 markah]
Penyelesaian:
\(\begin{array}{l}2^{n+2}-2^{n+1}+2^{n-1}\\={(2^n\times2^2)}-{(2^n\times2^1)}+{(2^n\div2^1)}\\=2^n{(4-2+\frac12)}\\=2^n{(\frac52)}\\=5{(\frac{2^n}2)}\\=5{(2^{n-1})}\\\therefore p=5\\\end{array}\)
\(\begin{array}{l} 8\left(2^{n+2}-2^{n+1}+2^{n-1}\right)=5\left(2^{n^{2}}\right) \\ 8(5)\left(2^{n-1}\right)=5(2)^{n^{2}} \\ 2^{3} \times 2^{n-1}=2^{n^{2}} \\ 3+n-1=n^{2} \\ n^{2}-n-2=0 \\ (n+1)(n-2)=0 \\ n=-1 \text { atau } n=2 \end{array}\)
Ungkapkan 2n + 2 – 2n + 1 + 2n – 1 dalam bentuk p(2n – 1), dengan keadaan p ialah pemalar.
Seterusnya, selesaikan persamaan 8(2n + 2 – 2n + 1 + 2n – 1) = \(5{(2^{n^2})}\).
[6 markah]
Penyelesaian:
\(\begin{array}{l}2^{n+2}-2^{n+1}+2^{n-1}\\={(2^n\times2^2)}-{(2^n\times2^1)}+{(2^n\div2^1)}\\=2^n{(4-2+\frac12)}\\=2^n{(\frac52)}\\=5{(\frac{2^n}2)}\\=5{(2^{n-1})}\\\therefore p=5\\\end{array}\)
\(\begin{array}{l} 8\left(2^{n+2}-2^{n+1}+2^{n-1}\right)=5\left(2^{n^{2}}\right) \\ 8(5)\left(2^{n-1}\right)=5(2)^{n^{2}} \\ 2^{3} \times 2^{n-1}=2^{n^{2}} \\ 3+n-1=n^{2} \\ n^{2}-n-2=0 \\ (n+1)(n-2)=0 \\ n=-1 \text { atau } n=2 \end{array}\)