Matematik Tambahan SPM 2018, Kertas 2 (Soalan 6)

Soalan 6 (6 markah):
Rajah 4 menunjukkan pandangan hadapan sebahagian daripada laluan ‘roller coaster’ di sebuah taman replika.

Bahagian lengkung laluan ‘roller coaster’ itu diwakili oleh persamaan $y=\frac{1}{64}{x}^3-\frac{3}{16}{x}^2$ , dengan titik A sebagai asalan.
Cari jarak tegak terpendek, dalam m, dari laluan itu ke aras tanah.

Penyelesaian:

$\begin{array}{l}y=\frac{1}{64}{x}^3-\frac{3}{16}{x}^2\mathrm{\dots \dots \dots \dots \dots }\left(1\right)\\ \frac{dy}{dx}=3\left(\frac{1}{64}\right)x^2-2\left(\frac{3}{16}\right)x^1\\ =\frac{3}{64}{x}^2-\frac{3}{8}x\\ \\ \text{Pada titik pusingan, }\frac{dy}{dx}=0\\ \frac{3}{64}{x}^2-\frac{3}{8}x=0\\ x\left(\frac{3}{64}x-\frac{3}{8}\right)=0\\ x=0\text{ atau}\\ \frac{3}{64}x-\frac{3}{8}=0\\ \frac{3}{64}x=\frac{3}{8}\\ x=\frac{3}{8}\times \frac{64}{3}\\ x=8\\ \end{array}$

 

$\begin{array}{l}\text{Gantikan nilai-nilai }x\text{ ke dalam (1):}\\ \text{Apabila }x=0,\\ y=\frac{1}{64}{\left(0\right)}^3-\frac{3}{16}{\left(0\right)}^2\\ y=0\\ \\ \text{Apabila }x=8,\\ y=\frac{1}{64}{\left(8\right)}^3-\frac{3}{16}{\left(8\right)}^2\\ y=-4\\ \\ \text{Oleh itu, titik-titik pusingan : }\left(0,\text{ 0}\right)\text{ dan }\left(8,-4\right)\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ \frac{dy}{dx}=\frac{3}{64}{x}^2-\frac{3}{8}x\\ \frac{d^{2}y}{d{x}^2}=2\left(\frac{3}{64}\right)x-\frac{3}{8}\\ =\frac{3}{32}x-\frac{3}{8}\\ \\ \text{Apabila }x=0,\\ \frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{3}{32}\left(0\right)-\frac{3}{8}\\ =-\frac{3}{8}\left(<0\right)\\ \left(0,0\right)\text{ ialah titik maksimum}\text{.}\\ \end{array}$

$\begin{array}{l}\\ \text{Apabila }x=8,\\ \frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{3}{32}\left(8\right)-\frac{3}{8}\\ =\frac{3}{8}\left(>0\right)\\ \left(8,-4\right)\text{ ialah titik minimum}\text{.}\\ \\ \text{Jarak tegak terpendek dari laluan ke aras tanah}\\ \text{adalah pada titik minimum}\text{.}\\ \text{Jarak tegak terpendek}\\ =5-4\\ =1\text{ m}\end{array}$